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Berechnung einer schiefen Asymptote

Schüler, Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine schiefe Asymptote einer Funktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Vorgangsweise:

1) Polynomdivision mit Rest
2) Grenzwertbestimmung

lim_{x \to \pm \infty} f (x)

Beispiel

f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}

D_{f =} ℝ \ {1}

Polynomdivision (oder Partialbruchzerlegung) ergibt:

\frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}

lim_{x \to + \infty} x + \frac{1}{x - 1} = \infty

lim_{x \to - \infty} x + \frac{1}{x - 1} = - \infty

Da der Term

\frac{1}{x - 1}

für sehr große und sehr kleine x-Werte gegen Null geht, bleibt nur

x

übrig.

Schiefe Asymptote:

g (x) := x

Annäherung des Graphen an die Asymptote:

Für

x < 1

gilt:

\frac{1}{x - 1} < 0 \Rightarrow

Der Graph von

f

nähert sich der Asymptote von unten.

Für

x > 1

gilt:

\frac{1}{x - 1} > 0 \Rightarrow

Der Graph von

f

nähert sich der Asymptote von oben.

Beispiel_1

Beispiel

f (x) = \frac{2 x^{3} + 3 x + 9}{3 x^{2}}

D_{f =} ℝ \ {0}

Polynomdivision (oder Partialbruchzerlegung) ergibt:

\frac{2 x^{3} + 3 x + 9}{3 x^{2}} = \frac{2}{3} x + \frac{3 x + 9}{3 x^{2}}

lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3} x + \frac{3 x + 9}{3 x^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3} x + \frac{3 x (1 + \frac{3}{x})}{3 x^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3} x + \frac{1 + \frac{3}{x}}{x} = \infty

lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3} x + \frac{3 x + 9}{3 x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3} x + \frac{3 x (1 + \frac{3}{x})}{3 x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3} x + \frac{1 + \frac{3}{x}}{x} = - \infty

Da der Term

\frac{1 + \frac{3}{x}}{x}

für sehr große und sehr kleine x-Werte gegen Null geht, bleibt nur

\frac{2}{3} x

übrig.

Schiefe Asymptote:

g (x) := \frac{2}{3} x

Annäherung des Graphen an die Asymptote:

Für

x > 0

gilt:

\frac{1 + \frac{3}{x}}{x} > 0 \Rightarrow

Der Graph von

f

nähert sich der Asymptote von oben.

Für

x < - 3

gilt:

\frac{1 + \frac{3}{x}}{x} < 0 \Rightarrow

Der Graph von

f

nähert sich der Asymptote von unten.

Beispiel_2

583511

583495

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