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Beweis der Regeln von De Morgan

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, de Morgan, de morgans gesetze, Mengenlehre

 
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kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

17:29 Uhr, 11.10.2012

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Hallo liebe User,

ich bin jetzt im ersten Semester (Wirtschaftsmathematik) und habe heute das erste mal die Analysis-Vorlesung besucht. 2 von 3 Aufgaben habe ich geschafft, bei dieser hier (Anhang) habe ich jedoch Schwierigkeiten.
Ich habe mir hier im Forum schon einige Threads zu diesen Regeln angeschaut (auch teilweise verstanden), aber noch keinen Beweis in dieser Schreibweise gefunden.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Mit freundlichen Grüßen
Kilian

De Morgansche Regel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Mathe45

Mathe45

17:36 Uhr, 11.10.2012

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Du sollst hier die Gleichheit zweier Mengen beweisen ( Achtung: I ist eine Indexmenge )
Grundprinzip:
Sind A und B gleich?
Beweisabfolge: Für jedes xAxB für jedes xBxA


kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

18:04 Uhr, 11.10.2012

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Ok erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort :-)

Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:

Es seien A und B Mengen.
1. Angenommen xA, wir zeigen x ∈ B. Dann folgt ACB. (C= Teilmenge)
2. Angenommen xB, wir zeigen x ∈ A. Dann folgt BCA.
3. Aus ACB und BCA folgt A=B
Antwort
Mathe45

Mathe45

18:33 Uhr, 11.10.2012

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Und dann verwendet man noch ein paar Grundregeln.
¬ (AB) ¬ A ¬ B
xA\BxA ¬ xB

Antwort
Mathe45

Mathe45

18:40 Uhr, 11.10.2012

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respektive xA\BxAxB

kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

18:54 Uhr, 11.10.2012

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Habe mich noch einmal hingesetzt. Der Verlauf wie man's macht ist mir jetzt klar und die Grundregeln auch. Aber was bringen mir diese Grundregeln:

¬ (A∨B)⇔ ¬ A∧ ¬ B
x∈A\B⇔x∈A∧ ¬ x∈B

genau?
Antwort
Mathe45

Mathe45

19:16 Uhr, 11.10.2012

Antworten
x sei aus einer Vereinigungsmenge:
xA1xA2xA3 usw. ( siehe dein Beispiel der Vereinigungsmenge Ai)
Wird das verneint, so gilt
xA1xA2xA3 usw.
Aus xBxA1 folgt xB\A1
In weiterer Folge ergibt sich
xB\A1xB\A2xB\A3 usw.
Daraus folgt xB\Ai
Damit ist die eine Richtung bewiesen.
( Das Schreiben der Formeln ist schwieriger als der Vorgang selbst )

kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

19:23 Uhr, 11.10.2012

Antworten
Whow danke :-)
hätte nicht gedacht dass ich das noch verstehe..

die andere Richtung müsste ich dann allein schaffen.

Vielen vielen Dank :-)
Antwort
Mathe45

Mathe45

19:25 Uhr, 11.10.2012

Antworten
Noch ein Hinweis: Ist ein Element aus einer Vereinigungsmenge, dann gilt die "ODER" - Verknüpfung ( " " ).
Ist ein Element aus einer Durchschnittsmenge, dann gilt die "UND" - Verknüpfung
( " " )
kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.10.2012

Antworten
Sind "∨" und "∧" die Symbole der Logik und "⋂" und "⋃" die Symbole der Mengenlehre?


Antwort
Mathe45

Mathe45

19:37 Uhr, 11.10.2012

Antworten
Ja, das "ODER" ( " " ) entspricht der Vereinigung " "
und das "UND" ( " " ) entspricht dem Durchschnitt " ".
Das entspricht auch dem Sprachgebrauch: ein Element ist aus einer Vereinigungsmenge, wenn es entweder aus der 1. Menge "ODER" aus der 2. Menge "ODER" .....
Ein Element ist aus einer Durchschnittsmenge, wenn es aus der 1. Menge "UND" aus der 2. Menge "UND" ....
Frage beantwortet
kilian1993

kilian1993 aktiv_icon

19:42 Uhr, 11.10.2012

Antworten
Wunderbar, vielen Dank!
Antwort
Xevin

Xevin aktiv_icon

19:49 Uhr, 02.03.2016

Antworten
Hallo liebe User,
ich habe hier nochmal ne Frage. Ich habe glaube ich eine ähnliche, wenn nicht sogar gleiche Aufgabe.

Ich soll auch die Gleichheit zweier Mengen angeben. Nur steht bei mir noch was von Teilmengen und so... steig da nicht durch.
Wenn mir die bisherigen Antworten weiterhelfen können, wäre es nett wenn ihr mir das bestätigen könnt.
Wenn das nicht der Fall ist soll ich dann einen neuen Thread aufmachen, oder ginge das auch so? =)

Vielen Dank im Voraus

de morgan
Antwort
abakus

abakus

21:24 Uhr, 02.03.2016

Antworten
"ein Element ist aus einer Vereinigungsmenge, wenn es entweder aus der 1. Menge "ODER" aus der 2. Menge..."

Hallo Mathe45,
hier wird es falsch. Deine Formulierung "entweder" geht in diesem Zusammenhang NICHT.

ODER ist (abseits der Alltagssprache) kein Exklusiv-ODER.
Antwort
Xevin

Xevin aktiv_icon

22:22 Uhr, 02.03.2016

Antworten
Hi Gast62,
Hast du zufällig auch ne Antwort auf meine Frage? Wäre echt nett =)