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Tags: Beweisführung, Funktion

 
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Schwalz

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16:24 Uhr, 12.09.2017

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Wie beweise ich das folgende Gleichung für x > 1 stimmt (Wolframalpha bestätigt)

4log(x122+12)(x122+12)>log(x)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

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16:30 Uhr, 12.09.2017

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Z.B. kann man es durch die Ableitungen begründen.
Die Ableitung der Funktion links ist für alle x>1 größer als die Ableitung der Funktion rechts.
Schwalz

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19:23 Uhr, 12.09.2017

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Das beweist aber nur ob die Steigung links größer als rechts ist, das sagt nichts über die konkreten Werte aus, und in welchem Bereich die rechte Seite eventuell größer ist als die linke.
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DrBoogie

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19:45 Uhr, 12.09.2017

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Doch, das reicht als Beweis. Und zwar aus dem folgenden Grund.
Sei f die Funktion links und g die Funktion rechts (ich will einfach nicht die komplizierten Ausdrücke mitschleppen).
Es gilt f(1)=g(1). Wenn wir außerdem beweisen, dass fʹ(x)>gʹ(x) für x>1,
so haben wir für die Funktion h:=f-g: einerseits h(1)=0 und andererseits hʹ(x)>0.
Daraus folgt, dass h(x)>0 für x>1, weil h monoton steigt. Damit f(x)-g(x)>0 => f(x)>g(x).
Schwalz

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20:17 Uhr, 13.09.2017

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Ich habe eine weitere Gleichung:

f(x)=x23x132+12-3x13x14+2>0

Die erste Ableitung ist:

fʹ(x)=34(x14+2)2x14+23(x132+12)x13-32(x14+2)x-16(x132+12)2

Und wenn ich das richtig sehe, wird das nur noch schlimmer wenn ich weiter ableite. Wie beweise ich hier das die Gleichung f(x) gilt für x > 1? (Wolframalpha bestätigt)

Edit: Wolframalpha behauptet sogar das für positive x gilt x112>1
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DrBoogie

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21:49 Uhr, 13.09.2017

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"Wolframalpha behauptet sogar das für positive x gilt"

Nö, das kann nicht sein. Z.B. x=0.512 ist positiv, aber x1/12=0.5<1.
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DrBoogie

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21:51 Uhr, 13.09.2017

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Das würde ich zuerst umformen, z.B. kann man x1/3 "rausziehen" usw.
Schwalz

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23:12 Uhr, 13.09.2017

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Mit Wolframalpha hab ich mich unklar ausgedrückt. Ich meinte das die Umformung laut WA so zulässig ist, für positive x. Das die Formel für kleine x nicht gilt, ist klar.

Umformung führt mich zu

2x23+x1112-32x56-32x12

Von hier aus weiß ich nicht weiter?

Hast du eine weitere Idee, das hier besser umzuformen?

Alternativ erhalte ich nun folgende Ableitung

fʹ(x)=11*x512+16*x16-15*x13+-912*x12

Kann man da eventuell schon zeigen, das das für x > 1 positiv sein muss, so ist der erste Term ja aufjedenfall größer als die -9 die am Ende abgezogen werden, allerdings lässt sich für die Mitte nichts sagen.
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DrBoogie

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09:26 Uhr, 14.09.2017

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Du willst beweisen:
x2/30.5x1/3+0.5>3x1/3x1/4+2 für x>1.

Das kann man durch x1/3 "kürzen":
x1/30.5x1/3+0.5>3x1/4+2, was dann äquivalent ist zu

x1/3(x1/4+2)>3(0.5x1/3+0.5), was dasselbe ist wie x1/2+2x1/3>1.5x1/3+1.5,
und das kann man noch zu x1/2+0.5x1/3-1.5>0 umformen.
Sei jetzt g(x):=x1/2+0.5x1/3-1.5. Wie haben: g(1)=0 und gʹ(x)=0.5x-1/2+0.15x-2/3>0 für alle x>0. Damit ist g streng monoton wachsend => g(x)>0 für alle x>1. Und das ist genau, was Du brauchst.






Schwalz

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10:17 Uhr, 14.09.2017

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Mir ist leider beim Abtippen hier ein Fehler unterlaufen.

Die richtige Funktion ist x23x1312+12>3x122+x14

Daher konnte ich auch nicht das x^(1/3) rauskürzen und komm auf die Umformungen meines letzten Beitrages.

Entschuldigung für die Umstände.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:19 Uhr, 14.09.2017

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"Daher konnte ich auch nicht das x^(1/3) rauskürzen"

Dann halt sofort umformen wie ich nach dem "rauskürzen" gemacht habe. Der Rest geht genauso wie oben.
Schwalz

Schwalz aktiv_icon

10:54 Uhr, 14.09.2017

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Durch Umformung erhalte ich:

x1112+2x23-32x56-32x12>0

das Abgeleitet ist

1112x-1/12+43x-1/3-54x-1/6-34x-1/2>0

Sorry wenn ich mich dumm anstelle, aber ich seh noch nicht ganz wie ich oben das Muster auf diese Ableitung anwenden kann.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.09.2017

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Das ist in der Tat etwas schwieriger, man muss mehrere Male ableiten.

Zuerst mal 1112x-1/12+43x-1/3-54x-1/6-34x-1/2=x-1/2(1112x5/12+43x1/6-54x1/3-34)

Es muss jetzt also gezeigt werden, dass für h(x):=1112x5/12+43x1/6-54x1/3-34 gilt h(x)>0 für x>1. Da h(1)>0, reicht hʹ(x)>0 zu zeigen.

Also, hʹ(x)=55144x-7/12+29x-5/6-512x-2/3=x-5/6(55144x1/4+29-512x1/6).

Jetzt reicht es zu zeigen, dass g(x):=55144x1/4+29-512x1/6>0 für x>1. Wegen g(1)>0 reicht wiederum gʹ(x)>0 für x>1 zu zeigen.

Und das geht endlich direkt: gʹ(x)=55576x-3/4-572x-5/6=x-5/6(55576x1/12-572)>572x-5/6=x-5/6(55576-572)>0 für x>1.




Frage beantwortet
Schwalz

Schwalz aktiv_icon

11:37 Uhr, 14.09.2017

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Ja das sieht schon nach ein bisschen Arbeit aus, werde mich gleich in Ruhe damit beschäftigen.

Dir vielen Dank für deine ganzen Mühen!