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Differenzenquotient

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Änderungsrate.Berechnung, Normal, Tangent

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Jules1716

Jules1716 aktiv_icon

17:41 Uhr, 10.03.2010

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Aufgabe war wie folgt:

Bestimmt die Gleichungen der Tangenten und Normalen an dem Graphen mit f(x)=x^3-3x+2 in allen Achsenschnittpunkten. Die Punkte lauten (0/2), (1/0), (-2/0)

Wie komm ich jetzt auf die Ableitung und damit auch auf die Tangente und Normale ohne die Ableitungsregeln zu verwenden..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

17:47 Uhr, 10.03.2010

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Differenzialquotient:

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - 3 x + 2 - (x_{0}^{3} - 3 x_{0} + 2)}{x - x_{0}}

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - 3 x + 2 - x_{0}^{3} + 3 x_{0} - 2}{x - x_{0}}

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - x_{0}^{3} + 3 x_{0} - 3 x}{x - x_{0}}

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - x_{0}^{3}}{x - x_{0}} + lim_{x \to x_{0}} \frac{3 x_{0} - 3 x}{x - x_{0}}

Links Polynomdivision und rechts ausklammern.

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artiiK

artiiK aktiv_icon

17:52 Uhr, 10.03.2010

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lim_{x - > x_{0}}

\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Jules1716

Jules1716 aktiv_icon

18:01 Uhr, 10.03.2010

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Wenn man das macht bekommt man

lim x^{2} + lim 3

raus.. aber wenn man jetzt mal mit der Ableitungsregel kontrolliert wäre das falsch, da man so

3 x^{2} - 3

rausbekommt.
welchen Wert soll denn für

x 0

eingesetzt werden?. Wenn ich jetzt zb die x-werte der Punkte einsetzt bekomm ich alles aber nicht

3 x^{2} - 3

raus...

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:09 Uhr, 10.03.2010

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(x^{3} - x_{0}^{3}) : (x - x_{0}) = x^{2} + x_{0} \cdot x + x_{0}^{2}

- (x^{3} - x_{0} \cdot x^{2})

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

x_{0} \cdot x^{2} - x_{0}^{3}

- (x_{0} \cdot x^{2} - x_{0}^{2} \cdot x)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

x_{0}^{2} \cdot x - x_{0}^{3}

- (x_{0}^{2} \cdot x - x_{0}^{3})

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

0

Also

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} - x_{0}^{3}}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} x^{2} + x_{0} \cdot x + x_{0}^{2} = x_{0}^{2} + x_{0} \cdot x_{0} + x_{0}^{2} = x_{0}^{2} + x_{0}^{2} + x_{0}^{2} = 3 x_{0}^{2}

Und

lim_{x \to x_{0}} \frac{3 x_{0} - 3 x}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{- 3 (x - x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} - 3 = - 3

Also

f' (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 3

Passt doch

Frage beantwortet

Jules1716

Jules1716 aktiv_icon

18:18 Uhr, 10.03.2010

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Danke schön. Hab mich irgendwie verrechtnet...

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:19 Uhr, 10.03.2010

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Kann passieren ;-)

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