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Ermittlung Funktion 3. Grades

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: ermittlung von funktion, Grad

Careless aktiv_icon

14:48 Uhr, 26.11.2012

Hallo Leute, ich habe eine Hausaufgabe aufbekommen. Nur leider bin ich eine Mathe Niete und stehe ziemlich auf dem Schlauch, wenn es darum geht, etwas selbst zu interpretieren bzw. verstehen um die Aufgabe zu lösen.

Meine Aufgabe heißt: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion

g (x) =

x²

- x - 2

. Sie schneidet die y-Achse im Pumkt

P (0; 2)

und hat dort den Anstieg

- 3

. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich weiß nicht wie ich an die Sache herangehen soll.
Bisher habe ich die Nullstellen der Funktion

g (x)

mit

- 1 | 2

Außerdem habe ich das "Grundgerüst" (?) für die Fkt. 3. Grades, also:

f (x) =

ax³+ bx²

+

+ d

und die 1. Ableitung/ Anstieg

f' (x) =

3ax²

+

2bx

+ c

Leider weiß ich nicht wie ich weiter verfahren soll. Kann mir jemand helfen und vielleicht auch neben versuchen zu erklären?

Danke im Vorraus

) :

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

funke_61 aktiv_icon

15:06 Uhr, 26.11.2012

bis jetzt ist alles ok.
jetzt stellst Du die Bestimmungsgleichungen für die gesuchte Funktion auf.
Gegeben sind die Bedingungen

Nullstellen:

f (- 1) = 0

f (2) = 0

Schnittpunkt mit y-Achse:

f (0) = 2

Anstieg

- 3

bei

x = 0 :

f' (0) = - 3

Dies gibt vier lineare Gleichungen mit vier Unbekannten
LGS lösen,
fertig
;-)

funke_61 aktiv_icon

15:36 Uhr, 26.11.2012

Ergebnis zur Kontrolle:

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2

Careless aktiv_icon

19:53 Uhr, 26.11.2012

danke für deine Antwort! :-)

Aber ich komm irgendwie nicht weiter.. Weiß nicht wie ich jetzt mit diesen Bedingungen lineare Gleichungen aufstellen soll, weil ich mir darunter nichts vorstellen kann.

prodomo aktiv_icon

07:59 Uhr, 27.11.2012

Du hast zwei Nullstellen bei

x = - 1

und

x = 2

. Also

f (- 1) = 0

und

f (2) = 0

. Außerdem hast du

(s

. funke)

f (0) = 2

und

f' (0) = - 3

. Jetzt setze die Werte in die allgemien Gleichung bzw. deren Ableitung ein

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

f (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{3} + b \cdot {(- 1)}^{2} + c \cdot (- 1) + d

.
Ausgerechnet ergibt das

- a + b - c + d = 0

Ebenso wird mit

(2 | 0)

und

(0 | 2)

verfahren

a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c \cdot 2 + d = 0

a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = 2

Ausrechnen:

8 \cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot c + d = 0

d = 2

Jetzt

f' (0) = - 3

3 \cdot a \cdot 0^{2} + 2 \cdot b \cdot 0 + c = - 3

Ausrechnen:

c = - 3

Die ausgerechneten Werte für

d

und

c

setzt du bei den beiden ersten Gleichungen ein:

- a + b - (- 3) + 2 = 0

8 \cdot a + 4 \cdot b + 2 \cdot (- 3) + 2 = 0

Zusammenfassen

- a + b = - 5

8 \cdot a + 4 \cdot b = 4

Die zweite Gleichung kannst du auf beiden Seiten durch 4 teilen

- a + b = - 5

2 \cdot a + b = 1

Die zweite Gleichung von der ersten abziehen, damit das

b

wegfällt

- 3 \cdot a = - 6

Daraus folgt

a = 2

. Diesen Wert einsetzen (egal wo), um

b

zu erhalten

2 \cdot 2 + b = 1

b = - 3

Insgesamt also mit den Werten für

c

und

d

f (x) = 2 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 2

(s . a

. funke)

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