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Es sei E := {(a, b) : a ∈ R, b ∈ R, a2 + b2 = 1}.

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Element

 
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urimr

urimr aktiv_icon

15:23 Uhr, 18.10.2015

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Aufgabe 1(2 Punkte)

Es sei E:={(a,b):a ∈ R,b ∈ R,a2+b2=1}. Zeigen Sie:

Sind (a,b) und (c,d) Elemente von E, so ist auch (ac − bd, ad + bc) ein Element

von E.

Aufgabe 2(3 Punkte)

Bestimmen Sie alle Tripel (m,u,v) nat¨urlicher Zahlen, die die

folgenden beiden Eigenschaften erf¨ullen:

62+m2=u2 und 152+m2=v2.

Aufgabe 3(4 Punkte)

Vorbemerkung: Sind m,n aus N, so liefert die Division von n durch

m einen eindeutigen Quotienten q ∈ N und einen eindeutigen Rest r ∈ N mit

n=q · m+r und 0 ≤ r ≤ m − 1.

Genau dann ist m ein Teiler von n, wenn r=0 ist. Beispiel: Bei (n,m)=(810,62) ergibt sich

(q,r)=(13,4), weshalb hier m kein Teiler von n ist.

Zur konkreten Aufgabenstellung: Im Folgenden seien m und a aus N.

(a) Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, und ist r der Rest bei der Division von a durch m,

so ist m ein Teiler von r2.

(b) Es seien nun speziell m=3 oder m=5. Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, so folgt m

teilt bereits a.

(c) Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahlen s,t mit s2=3 und t2=5 gibt.

Aufgabe 4(3 Punkte)

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte des Kontinuums und

C sei ein auf der Strecke von A nach B liegender Punkt. Man sagt, dass C die Strecke von A

nach B im Verh¨altnis des goldenen Schnittes teilt, falls gilt:

AB : AC = AC : CB.

(Dabei bedeutet XY die L¨ange der Strecke von Punkt X nach Punkt Y.)

Man nennt dann := AB : AC die Verh¨altniszahl des goldenen Schnittes.

Berechnen Sie und zeigen Sie, dass irrational ist.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass 2=+1 gilt.

Aufgabe 5(4 Punkte)

Gegeben ist die Menge M:={s+t · √2 :s ∈ Q,t ∈ Q}. Zeigen

Sie:

(a) Ist z=s+t · √2 aus M (mit s,t ∈ Q), so ist z genau dann irrational, wenn t6=0 ist.

(b) 1

3+p72

ist Element von M.

(c) √3 ist kein Element von M.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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ledum

ledum aktiv_icon

15:37 Uhr, 18.10.2015

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Hallo urimr
die gleiche Frage in 2 verschiedenen Foren zu stellen, ohne im jeweiligen anderen zu sagen, dass man das macht ist grob unhöflich! so müssen wir erst nachforschen, ob du schon eine Antwort hast, und was wir tun für die katz ist.
also etwa
"ich habe die Frage auch bei www.mathelounge.de/274290/es-sei-e-a-b-a-∈-r-b-∈-r-a2-b2-1-zeigen-sie gestellt"
schön,dass du uns mit Aufgaben versorgst!
Was willst du sonst von uns? Wohl doch eine BITTE um Hilfe?
was daran kannst du nicht?, was hast du schon getan?
für einen post sind das, selbst wenn du zeigst, was du daran nicht kannst zu viele Aufgaben.
also Folgerung:
1.maximal 2 gleichartige Aufgaben pro Frage
2. Fragen präzisieren bisher steht da gar keine!
3. sagen wie weit du kommst, bzw. was du versucht hast. für jede Aufgabe
5. Vorschau ansehen, dann steht da nicht statt a2+b2 einfach a2+b2 und wir müssen raten was das heisst!
und irgendwas wie "zeigen, dass 2=+1 gilt" , was niemand kann
Gruß ledum
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