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Funktionenschar

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktionenschar

 
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MathStudent

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22:11 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Ich arbeite an eine Frage und habe dabei gewisse Probleme. Es geht um Funktionscharen.
Diese Frage wurde einmal halbwegs bearbeitet, aber es ist immer noch nicht klar
Die Frage:
Ein Seil für eine Seilbahn soll zwischen zwei Masten aufgehängt werden. Die Höhe ( Metern) des durchhängenden Seiles über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion fc mit
fc(x)= (1+c)/(1500²) x3- cx +500
beschrieben. (0=<x=<1500)(c-1)

a) Untersuche die gemeinsamen Punkte aller Kurven der Schar. In welcher Höhe über dem Meeresspiegel befinden sich die Aufhängepunkte an den Masten
b) Für welchen Parameter c würde das zugehörige Seil bis auf 400 Meter über dem Meeresspiegel durchhängen?
c) Wie viele Meter hängt das Seil für c=1 bzw. c=0,5 relativ zu einem straff zwischen den Masten gehängten Seil maximal durch? Für welchen Parameter c würde das Seil maximal 40 Meter durchhängen?
d) Die Vorschriften besagen, dass die prozentuale Steigung der Seilbahn nirgendwo größer als 400% sein darf. Wie groß darf der Parameter c also maximal sein?

Für a kommt raus 500 und 1500, aber das habe ich einfach durch Einsetzen von Zahlen rausgefunden, aber kann es nicht mathematisch beweisen.
Dasselbe gilt für b. Das Ergebnis ist 500 und 1500, aber wieder kann ich es nicht beweisen.
Für c: Hier kann ich zwei Gleichungen aufstellen:
f(x)=(1+c)*x^3/1500−c*x+500=400
f(x)=(1+c)x2500-c=0
Aber dann könnte ich nicht auf c schließen.
Genau das selbe Problem hatte ich auch für d und e.
Kann mir jemand helfen?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:55 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Komplettlösung hier abgreifen ?
http//www.gute-mathe-fragen.de/129256/funktionenschar-begseilbahn
Antwort
Ma-Ma

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23:18 Uhr, 16.06.2014

Antworten
a) Also ich bekomme 0 und 1500 raus.

Bist Du bereit, hier mitzuarbeiten ?
MathStudent

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23:20 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Ja, c ≥ 1
Antwort
Ma-Ma

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23:26 Uhr, 16.06.2014

Antworten
NA, was nun c-1 oder c1?

Bist Du bereit mitzuarbeiten ?

MathStudent

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23:30 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Verzeihung. c≥ -1
Ja, klar, bin ich bereit.
Antwort
Ruetli

Ruetli

23:31 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Bei (a) gibt nix zu beweisen , höchstens mitteilen, dass die Masten am Punkt x=0 und Punkt x=1500 vermutet wurden und das eingesetzt wurde.
gemeinsame Punkte der Schar sind die Endpunkte.

zu (b) Schon mal was von Kurvendiskussion gehört? Ganzrationale Funktion vom Grad 3 (kubisches Polynom) , analyisch das Minimum bestimmen (hängt vom Parameter c ab) und dann c so wählen dass das Minimum genau =400 ist.
MathStudent

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23:35 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Nein, Kurvendiskussion ist ein neues Thema für mich. Werde gleich nachschlagen, aber falls du irgendwelche Quellen oder Erklärungen geben könntest, wäre ich sehr dankbar.
Antwort
Ma-Ma

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23:35 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Okidoki, dann geht´s los ...

zu a) Gesucht gemeinsame Punkte der Funktionsscharen.

Parameter der 1.Funktionsschar ist c.
Es gibt weitere Funktionsscharen mit anderen Parametern. Nehmen wir den Parameter a.
Beide Funktionsscharen sollen gemeinsasme Punkte haben.

fc(x)=fa(x)

Setze in der zweiten Funktionsschar für c das a ein ein.
Gleichsetzen und auflösen nach x.

Das war´s für Teilaufgabe a).

LG Ma-Ma
Antwort
Stephan4

Stephan4

23:35 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Hier was zum Spielen:

http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html?fx=(1+c)/(1500^2)*x^3-c*x+500&amp;sg=f&amp;sh=f&amp;xh=1800&amp;xl=-100&amp;yh=2200&amp;yl=0&amp;ch=2&amp;cl=-2&amp;c=1

LG, Stephan
Antwort
Ma-Ma

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23:38 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@Stephan: Nett gemeint, in der Klausur stehen diese "Spielereien" jedoch nicht zur Verfügung, da muss nunmal gerechnet werden ...
LG Ma-Ma
MathStudent

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23:39 Uhr, 16.06.2014

Antworten
Danke Ma-Ma, ich bin gerade dabei, deine Lösung auszurechnen
Antwort
Ruetli

Ruetli

23:40 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@ Mathstudent , wenn du noch nie was von Kuverndiskussion,
Extremalstellenbestimmung etc gehört hast, dann ist das hier völlig sinnlos.
Daa kannste nicht mal eben nachschlagen,
Darf ich mal fragen welche Klasse du besuchst?

Das oben ist eine typische Abiaufgabe früher für Grundkurs heute G8.
Setzt einfach Analysis voraus.
auch bei (c) - Differenzfunktion zur Gerade zwischen den Masten, Extrema bestimmen usw.
MathStudent

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23:46 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@Ma-Ma
Wenn ich zwei Gleichungen mit c und a aufstelle, dann habe ich, falls ich es richtig verstanden habe, zwei Gleichungen mit drei Unbekannte a,c,x. Dann kann ich ja nicht x rauskriegen?
Die Gleichung würde so aussehen:
100+c15002x3- cx +500=100+a15002x3- ax +500
Antwort
Ma-Ma

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23:48 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@Ruetli: Das Einmischen in laufende Threads ist sehr unhöflich.

"Bei (a) gibt nix zu beweisen , höchstens mitteilen, dass die Masten am Punkt x=0 und Punkt x=1500 vermutet wurden und das eingesetzt wurde."

Wir vermuten hier nix, wir RECHNEN !

LG Ma-Ma
Antwort
Ma-Ma

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23:53 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@MathStudent: a und c kürzen sich im Endeffekt raus. Es verbleibt nur noch x...

1+c15002x3-cx+500=1+a15002x3-ax+500

Erster Schritt: minus 500
Zweiter Schritt: mal 15002


Antwort
Ruetli

Ruetli

23:55 Uhr, 16.06.2014

Antworten
@Ma-Ma
Eimischen unhöflich ? Wass soll denn der Quark. Hier kann jeder in die Threads schreiben und beitragen.
Immerhin hab ich schon mal auf dein komisches Oberlehrergetue mit dem c verzichtet.

Und dass die Masten an den Endpunkten stehen wird nicht explizit gesagt in der Aufgabenstellung, es ist auch keine Zeichnung mit Koordinaten dabei wie z.B. hier
http//www.hamburg.de/contentblob/3837044/data/pdf-lernaufgaben-abitur-analysis.pdf

Also schreibe ich es dazu als Annahme damit man die Rechnung nachvollziehen kann.
Und mehr als einsetzen der Endpunkte kannst du auch nicht.
Was soll also die Anmache?

Du siehst im übrigen auch schon an den Rückfragen dass der Mathestudent gar nicht die
Voraussetzungen für das Verständnis die Lösung hat. Du kannst ihm das also vorrechnen, aber was bringt euch das?

Echt wirr hier. :-)
MathStudent

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00:00 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Danke @Ma-Ma für die Geduld. Können wir zu b gehen.
Antwort
Ma-Ma

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00:05 Uhr, 17.06.2014

Antworten
@Ruetli: Dein Name sagt alles ... Nettiquette ist sicher ein Fremdwort für Dich, kann´s Dir nicht verübeln ..

Ich werde MathStudent auch nichts vorrechnen, das kann er nämlich selber! Braucht nur einen kleinen Anschubser ...

Also bitte, halte Dich raus. Vielen Dank!


Antwort
Ma-Ma

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00:08 Uhr, 17.06.2014

Antworten
@MathStudent:

zu a) Zeige bitte den letzten oder vorletzen Schritt.
Ich will sehen, ob Du die Gleichung richtig aufgelöst hast.

Falls ein Problem dabei, so SAGE es !

LG Ma-Ma



MathStudent

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00:13 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ich habe es bis hier ausgerechnet:
(1+c)x3-(1+a)x3-15002 *cx +15002 *ax =0
hier kann man x ausklammern und daraus folgt, dass eine Lösung x=0 ist.
Aber die zweite Lösung, wo x=2000 ist, könnte ich noch nicht ausrechnen.
Antwort
Ma-Ma

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00:24 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Bis dahin ... SUPER !

x ausklammern Perfekt !

x=0 passt.

Wenn mindestens 1 Faktor NULL, so ist das Produkt =NULL.

0=x[(1+c)x2-(1+a)x2-(15002c)+(15002a)]

----------
Jetzt schauen wir uns die eckige KLammer an.

0=(1+c)x2-(1+a)x2-(15002c)+(15002a)

-------
Ich klammere x2 aus und ebenso 15002.

0=x2[(1+c)-(1+a)]+15002(a-c)

Kannst Du das nachvollziehen ?
MathStudent

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00:30 Uhr, 17.06.2014

Antworten
x2(c-a)+15002a-15002c=0
x2(c-a)-15002(c-a)=0
x2-15002=0
x2=15002
x=1500
Antwort
Ma-Ma

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00:33 Uhr, 17.06.2014

Antworten
JA, ich will, dass Du es verstehst und bei Deiner nächsten Aufgabe selber kannst !

Nächster schritt, die eckige Klammer auflösen ...
MathStudent

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00:36 Uhr, 17.06.2014

Antworten
x2 *(c−a)+ 15002 *a− 15002c=0
x2 *(c−a)− 15002 (c−a)=0
x215002=0
x2=15002
x=1500
Antwort
Ma-Ma

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00:37 Uhr, 17.06.2014

Antworten
0=x2[1+c-1-a]+15002(a-c)

0=x2(c-a)+15002(a-c)

0=x2(c-a)+15002(-1)(c-a)

0=x2(c-a)-15002(c-a)

Jetzt durch (c-a) dividieren.

0=x2-15002

MathStudent

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00:39 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Genauso habe ich es ausgerechnet. Danke dir nochmals
Antwort
Ma-Ma

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00:42 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Jepp, sieht gut aus.

Beachte, dass
x2=15002

Wurzel ziehen auf beiden Seiten.

x=±1500

Da x0, kommt nur x=1500 in Frage.

Das wäre rechnerische Lösung zu a).

-----------------
Ich schreibe gleich noch was zu b). Kannst dies ja morgen lösen.
LG Ma-Ma

MathStudent

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00:46 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Für b haben wir zwei Gleichungen:
1. 1+c15002 ⋅x^3 − cx +500=400
2. 3(1+c)15002 ⋅x^2 -c=0

Jetzt muss ich eben für c rechnen, aber gleichzeitig irgendwie den x wegbekommen.
Antwort
Ma-Ma

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00:49 Uhr, 17.06.2014

Antworten
b) Für welchen Parameter c würde das zugehörige Seil bis auf 400 Meter über dem Meeresspiegel durchhängen?

Hier handelt es sich um einen Tiefpunkt, dessen y-Wert =400 sein soll.

1) Berechne, bei welchem x-Wert ein Tiefpunkt vorliegt.
2) Nimm f(x), also die Ausgangsgleichung und setze für den y-Wert, also f(x)=400 ein.

LG Ma-Ma

MathStudent

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01:15 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ich habe jetzt diese zwei Gleichungen:
1. 1+c15002x3 − cx +500=400
2. 3(1+c)15002x2-c=0

Ich rechne nach x auf:
x2=15002c3(1+c)
x=15002c3(1+c)=1500c3(1+c)

Jetzt setze ich es in der ersten Gleichung ein:

1+c1500215003c3(1+c)3c1500c3(1+c)+100=0

1500c3(c3(1+c))1500cc3(1+c)+100=0
1000cc3(1+c)=-100
cc3(1+c)=110

Ich muss für c ausrechnen.
Ist der Rechenweg bis jetzt korrekt? Kannst du mir ein Rat geben wie ich weiter rechnen soll?
Antwort
Ma-Ma

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01:20 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Siehe mein Post um 0:49 Uhr.

Berechne, wo x einen Tiefpunkt hat.

Ich bin heute abend wieder online.
LG Ma-Ma
MathStudent

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01:26 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Aber dieser Tiefpunkt hängt ja von c ab.
Dazu rechnen wir die Nullstelle der Ableitung:
3(1+c)15002x2-c=0
Da hat x für jeden c einen anderen Tiefpunkt und wir brauchen den für f(x)=400
Danke nochmals. Ich werde bis morgen abend nochmal versuchen.
Antwort
Ma-Ma

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21:38 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Dein Post von 1:15 Uhr.

"Ich rechne nach x auf ..."
Ja, ein Extremwert liegt bei

xE=15003cc+1

Und ja, xE ist von c abhängig.

-------
Ich prüfe jetzt das Einsetzen in die erste Gleichung ...
f(xE)=400
Antwort
Ma-Ma

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21:54 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ja, sieht gut aus.

Jetzt QUADRIEREN.

c2(c3(1+c))=1100

c31+c=3100

Auflösen, dann 0=....

Antwort
Ma-Ma

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21:56 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Graphen mit c=0,c=1 und c=0,35.

heute
MathStudent

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22:02 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Es gibt:
100c3-3c-3=0
Nur wie kann ich jetzt c ausrechnen?
Antwort
Ma-Ma

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22:08 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ich habe durch 100 dividiert und dann die 1. Nullstelle geraten.
Oder Näherungsverfahren Deiner Wahl anwenden.
MathStudent

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22:11 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Also mit rechnen gibt es für diese Gleichung dritten Grades keinen Weg. Man muss einfach verschiedene Zahlen auswählen und sich der Lösung annähern?
MathStudent

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22:18 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Wobei die Lösung für c ungefähr bei 0,343 liegt?
Antwort
Ma-Ma

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22:22 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Mein geratenes c findest Du in der Skizze (*schmunzel*) ...
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:27 Uhr, 17.06.2014

Antworten
JA, passt. Ich hatte gerundet auf c=0,35.
Dein Wert könnte genauer sein, hab´s nicht nachgerechnet.

Mach mal die Probe.
Könntest ja auch xE ausrechnen und dann zusammen mit c "in" f(x) einsetzen.
Müsste dann f(xE)=400 rauskommen.
MathStudent

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22:30 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ja habe das gemacht. Passt ungefähr, muss noch ein Bisschen an der Zahl arbeiten.
Können wir zu Aufgabe c gehen?

Antwort
Ma-Ma

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22:38 Uhr, 17.06.2014

Antworten
c) Wenn das Seil straff gespannt ist, hast Du eine Gerade zwischen den beiden Aufhängepunkten.
Geradengleichung aufstellen g(x)=.... ?

c=1 "in" f(x) einsetzen und Funktionsgleichung berechnen.
f1(x)=.... ?

---------------
Differenzfunktion bilden.
h(x)=g(x)-f1(x)

Extremwert der Differenzfunktion bestimmen.
(Dieser Extremwert gibt Dir die Stellen x an, wo die Differenzen der beiden Funktion minimal/maximal sind.
Uns interessiert jedoch nur ein bestimmtes Intervall (x von 0 bis 1500).

Fang mal an, kannst gerne Zwischenergebnisse posten.
LG Ma-Ma
MathStudent

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23:10 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ich habe es so ausgerechnet.
1. Die Gleichung für den straff gespannten Seil:
g(x)=x+500

2. Jetzt muss für c=1 der Tiefpunkt ausgerechnet werden:
f´(x) =31+c15002x2-c=0
f´(x) =31+115002x2-1=0
x=612,4
nun in f(x) mit c=1 einsetzen:
f(612,4)=91,7
Somit haben wir den Tiefpunkt für c=1
Jetzt die Höhe für gestreckten Seil ausrechnen:
g(612,4)=1112,4
Differenz: 1020,7

Nun muss dasselbe für c=-0,5 ausgerechnet werden.
Ist alles richtig?

Antwort
Ma-Ma

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23:16 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Hast Du schon Zwischenergebnisse zum Vergleichen ?

g(x)=... ?

f1(x)=... ?

h(x)=... ?


MathStudent

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23:18 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Da oben habe ich ja die Zwischenschritte geschrieben.
Antwort
Ma-Ma

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23:25 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Die Geradengleichung stimmt. g(x)=x+500

Der Rest passt nicht.
Es ist NICHT gefragt, wie groß der Abstand der beiden Graphen am Tiefpunkt von f1(x) ist !

Um den min. /max. Abstand beider Graphen zu ermitteln, benötigst Du die DIFFERENZFUNKTION.

h(x)=g(x)-f1(x)

Das Kochrezept hatte ich Dir oben aber bereits geschrieben!
(Wir bearbeiten hier aber nur c=1, für c=0,5 kannst Du das später alleine nacharbeiten.)

f1(x)=... ?

h(x)=... ?




MathStudent

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23:34 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Ja, verstehe, richtig.
Also wäre es
f(x)=215002x3-x+500
h(x)=f(x)-g(x)=215002x3-x+500-x-500
h(x)=215002x3-2x
Nun muss der Höhepunkt ausgerechnet werden:
h´(x) =615002x2-2
x=866
Richtig?
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.06.2014

Antworten
Sieht schon besser aus.
Du hast zwar bei h(x) die Funktionen vertauscht, aber das macht GARNIX, es ist egal, ob f(x)-g(x) oder g(x)-f(x).

h(x) ableiten, Null setzen und Extremstellen ausrechen. Passt.
(Beim Wurzelziehen haben wir immer einen Plus- und einen Minuswert, uns interessiert aber nur der x-Wert zwischen 0 und 1500.

xE=15003=866,03 passt.

Nun setze xE "in" h(x) ein und berechne h(xE).
Dieser Wert ist der minimale / maximale Abstand zwischen den Graphen.

(Anhand der 2.Ableitung h''(xE) könntest Du ermitteln, ob Min. oder Max.
Sparen wir uns aus Zeitgründen, ja, es ist ein Maximum, also der max. Abstand zwischen den Graphen. )

h(xE)=... ?
MathStudent

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23:58 Uhr, 17.06.2014

Antworten
h(866)=2150028663-2866
musste zwar umgekehrt sein und dann wäre das Endergebnis:
1154,7 Meter

Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:07 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Ja. hab ich auch raus.

xE=15003

h(xE)=20003=1154,7

Du siehst, dass dieser Wert größer ist als Dein ursprünglicher Abstand beim Tiefpunkt ...

--------------------
So, magst Du noch den Ansatz zu c) zweiter Teil ?

MathStudent

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00:09 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Ja, danke. Der Teil mit 40 Meter.

Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Wir arbeiten wieder mit der Differenzfunktion.

g(x)=x+500

fC(x)=... Deine Ausgangfunktion ...

Differenzfunktion h(x)=g(x)-fc(x)

---------------
Ableiten h'(x)=.... ?

----------------
Extremwerte suchen h'(x)=0
Zum Vergleich: xE=15003

---------------
Soll h(xE)=40
Auflösen nach c.

Zum Vergleich: Mein c=325-1
(Rechne selber nach, ich könnte auch Schusselfehler drin haben.)

Probe machen ...

Viel Spass !





MathStudent

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00:28 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Ich habs. OK
Antwort
Ma-Ma

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00:30 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Achtung: In der Skizze ist h(x) die Funktionsgleichung mit c=-0,931 (also NICHT die Differenzfunktion) !


heute
Antwort
Ma-Ma

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00:33 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Beim ABSTAND zweier Kurven arbeitet man mit der DIFFERENZFUNKTION.

Für minimalen/maximalen Abstand gilt: h'(x)=0

(Wo bei f(x) oder g(x) oder sonstewas die Extremwerte liegen ist NICHT relevant!)
MathStudent

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00:53 Uhr, 18.06.2014

Antworten
g(x)=x+500
f(x)=1+c15002x3 − cx +500
h(x)=x-1+c15002x3+ cx
h´(x) =1-31+c15002x2+c
1-31+c15002x2+c=0
x-1+c15002x3+ cx =40
1-31+c15002x2+c=x-1+c15002x3+ cx -40

Ist es bis dahin richtig?

Antwort
Ma-Ma

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01:04 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Hmmm, das ist mir ein bissl zu viel Geraffel ... Ich setze bei h(x) nochmal auf und fasse die x zusammen.

h(x)=-(1+c)15002x3+x(1+c)

h'(x)=-3(1+c)15002x2+(1+c)

Extremwert (xE) berechnen.
h'(x)=0

0=-3(1+c)15002x2+(1+c)

Jetzt berechne zuerst xE.





MathStudent

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01:22 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Da haben wir für x=15003=866
MathStudent

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01:22 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Da haben wir für x=5003=866 (Natürlich + und -, aber bei uns kann es nur + sein).
Antwort
Ma-Ma

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01:22 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Ich rechne mal parallel zu Dir.

31+c15002x2=(1+c)

Dividiert durch (1+c)

315002x2=1

x2=150023

x=±15003

Uns interessiert nur der positive Wert.

xE=15003



MathStudent

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01:26 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Nächster Schritt:
866-1+c150028663+c866=40
Und nach c ausrechnen.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:26 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Gut, wir haben das Gleiche raus.

An dieser Stelle xE soll der Abstand 40 sein. h(xE)=40

Nun setze in h(x) das gefundene xE ein ... somit kannst Du c berechnen.


MathStudent

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01:34 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Falls ich es richtig ausgerechnet habe, kommt für c:
-0,93 raus.
Und ich habe es nachgeprüft, es ist richtig.
Antwort
Ma-Ma

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01:38 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Schaue bitte mal auf meine Skizze von 00:30 Uhr (*schmunzel*)
MathStudent

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01:39 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Falls du es auch raus hast, können wir auch kurz über d sprechen. Ich verstehe nicht was er mit einer prozentualen Steigung von 400% meint.
MathStudent

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01:41 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Ja, ok. Danke dir. Also ist das Ergebnis richtig.
Antwort
Ma-Ma

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01:42 Uhr, 18.06.2014

Antworten
Nur ganz kurz zu d)max. Steigung uns interessiert wieder fc(x)

max. Steigung 400%m<4f'(x)<4

Das sollten wir uns aber für morgen abend aufheben ...
MathStudent

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01:45 Uhr, 18.06.2014

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Ok, danke dir nochmals. Sehr nett von dir. Bis morgen abend und gute Nacht.
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Ma-Ma

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19:50 Uhr, 18.06.2014

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So, kommen wir zur Steigung.

Steigungsdreieck: 100% Steigung entsprechen 100 nach rechts und 100 nach oben, m=1.
400% Steigung: m=4

Bevor wir rechnen, möchte ich, dass Du Dir zwei Skizzen machst.

1) Zeichne das Koordinatensystem mit dem Seil (von x=0 bis x=1500) und c=1
Muss nur ungefähr sein, also nicht supergenau.

2) Zeichne direkt darunter ein Koordinatensystem mit der Steigungsfunktion f1'(x). c=1
Erläuterung dazu:
An die y-Achse kannst gerne m (Steigung) antragen, wähle von -1 bis 5.
Die x-Achse geht wieder von x=0 bis 1500.

1.Ableitung f'(x)= Steigungsfunktion. Ich benenne um in m(x).

fc'(x)=mc(x)=3(1+c)15002x2-c

(Du erkennst eine Parabelgleichung, allgemein y=ax2-b. )

Zeichen diese Parabel für c=1 und c=0. Zur Berechnung reichen die Werte für x=0 und x=1500.

----------------

Schaue Dir m1(x) und m0(x) an.
Welchen x-Wert sollten wir für die Betrachtung mc(x)<4 näher untersuchen ?




MathStudent

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23:52 Uhr, 18.06.2014

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Bei c=1, ist der Wert ungefähr bei 1370
und bei c=0 ist der Wert ungefähr bei 1735
Unser Wert liegt ungefähr bei c=0.5
Das ist aber keine Rechnerei
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Ma-Ma

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00:00 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Bei c=1, ist der Wert ungefähr bei 1370
und bei c=0 ist der Wert ungefähr bei 1735

???????????????????????
MathStudent

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00:07 Uhr, 19.06.2014

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c=1
f´(x) =615002x2 − 1
f´(1370) =4

c=0
f´(x) =315002x2
f´(1735) =4

c=0,5
f´(x) =4,515002x2-0,5
f´(1500) =4


Antwort
Ma-Ma

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00:15 Uhr, 19.06.2014

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Du hast was Anderes gemacht als ich gemeint habe ....

1) Hast Du Dir das Seil mit c=1 gezeichnet ?

2) Koordinatensystem mit der Steigungsfunktion darunter.
Von Steigung =4 berechnen, habe ich NICHTS gesagt!

c=0 und x=0,f0'(x)=m0(0)=0
c=0 und x=1500,f0(1500)=m0(1500)=3

Nachvollziehbar?


MathStudent

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00:21 Uhr, 19.06.2014

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Ja, vollkommen nachvollziehbar
Antwort
Ma-Ma

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00:25 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Moment bitte, Skizze meinerseits folgt gleich ...
Antwort
Ma-Ma

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00:28 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Die Steigungsfunktionen mit c=0m0(x) und c=1m1(x) sollten so aussehen:



heute
Antwort
Ma-Ma

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00:30 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Auf welchen x-Wert sollten wir unser Augenmerk richten?
Ist der kritische x-Wert evtl. x=1500?

MathStudent

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00:37 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Natürlich.
Wir brauchen den c Wert für f´(1500) 4.
Unsere Funktion wäre somit:
31+c1500215002-c=4
c=0,5
Antwort
Ma-Ma

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00:45 Uhr, 19.06.2014

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Fast richtig.

"d) Die Vorschriften besagen, dass die prozentuale Steigung der Seilbahn nirgendwo größer als 400% sein darf. "

fc'(x)<4

Ich bleibe jetzt mal bei m(x)= Steigungsfunktion (=f'(x))

mc(x)<4
mc(x)=31+c15002x2-c

Kritischer Wert bei x=1500.

mc(1500)<4

Jetzt für x=1500 einsetzen und c berechnen.

3(1+c)1500215002-c<4

Was erhälst Du für c ?

c<.... ?



MathStudent

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00:45 Uhr, 19.06.2014

Antworten
c<0,5
Nun wäre es noch richtig, den Wendepunkt auszurechnen und falls es dann eine positive Steigung in der zweiten Ableitung gibt, wäre das dann die Lösung.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:54 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Halten wir erstmal fest:
Aus der Ableitungsfunktion fc'(x)<4 ergibt sich: c<0,5

Die Ableitungsfunktion zeigt, wie groß die Steigungswerte sind.
Mit c<0,5 haben wir einen Parameter gefunden, wie sich das Seil mit weniger als 400% Steigung anbringen lässt. Fertig.

---------------

Du möchtest jetzt noch den Wendepunkt einbringen ?
Wendepunkt f''(x)=m'(x)

Wendepunkt somit Wert, wo die Steigungsfunktion Maximalwert/Minimalwert hat.
Wendepunkt zeigt, wo die Steigung am schnellsten zunimmt / abnimmt.
Ist das gefragt ?
Antwort
Ma-Ma

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00:59 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Der Wendepunkt von fc(x) ist übrigens bei x=0... bringt Dir das was ? Ist das gefragt ?
MathStudent

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01:17 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Nein, ich habe bemerkt dass es zwischen den zwei Höhen niemals in dem Interval einen Wendepunkt geben kann. Also macht es keinen Sinn.
Antwort
Ma-Ma

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01:24 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Ja, richtig. Wendepunkt ist immer nur dann wichtig, wenn gezeigt werden soll, wo die Steigungsfunktion (bzw. Änderungsrate) ein Maximum/minimum hat, also wo sich die Steigung/Rate am schnellsten/langsamsten verändert.
Wirst Du in weiteren Aufgaben noch finden, HIER jedoch nicht relevant.

Wichtig für Dich, die Parabel der Steigungsfunktion verstehen und warum wir uns auf x=1500 konzentriert haben.

LG Ma-Ma
MathStudent

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01:27 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Ja, danke.
Hiermit hätten wir dann alle Aufgaben durch.
Ich wollte mich wirklich bedanken für deine Hilfe und auch für die Geduld.
Es war sehr nett und hilfreich.
Antwort
Ma-Ma

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01:31 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Hat Spass gemacht mit Dir ... wünsch Dir viel Erfolg weiterhin.
Gute Nacht. LG Ma-Ma
Frage beantwortet
MathStudent

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01:33 Uhr, 19.06.2014

Antworten
Danke dir nochmals und gute Nacht. :-)