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Grundlegendes Verständnisproblem Basis desVR

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Vektorraum

Heelie aktiv_icon

18:31 Uhr, 20.11.2014

Hallo Leute!

Ich bin kurz vor dem verzweifeln. Ich studiere interaktives Design im 1. Semester. Es geht im Mathematikunterricht hauptsächlich um Vektorrechnung. Ich hatte dieses Thema nie in der Schule und somit besitze ich null Vorkenntnisse. Sowieso fällt mir Mathe sehr sehr schwer.

Ich habe grundlegend Verständnisprobleme. Ein Beispiel:

Die Vektoren

b 1 (1,3,5) b 2 (1,0,1)

und

b 3 (1,1,0)

bilden eine Basis

B

des dreidimensionalen Raumes R³.

bestimmen sie die Koordinaten (λ1, λ2, λ3) des Vektors

v = (2,4,5),

sowie die Koordinaten des Vektors

w = (2,2,7)

bezüglich der Basis B. Dies geht durch "hinschauen". Also ohne formale Rechnung.

Zunächst mal: Um Himmels Willen was ist eine Basis? Bisher konnte mir das keiner verständlich oder anschaulich erklären. Was sicherlich an mir liegt. Auch 100te Versuche Google und Youtube zu bemühen scheiterten. Ich Raff es einfach nicht. Bilden die drei Vektoren ein Koordinatensystem? Ist das die Basis? Wie muss ich mir diese sogenannte Basis vorstellen?

bezüglich der Aufgabe: Ich kenne die rechnerische Formel zum berechnen der Koordinaten von Vektoren. Wie aber löse ich das jetzt durch hinschauen?

Ok also ich bin für Hilfe dankbar. Seit nicht zu hart mit mir

\land

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

ledum aktiv_icon

19:46 Uhr, 20.11.2014

Hallo
Basis, auf sie bezieht sich alles. Wenn du in der Schule ein rechtwinkliges Koordinatennetz benutz hast

x, y

Achse auf beiden dieselbe Einheitslänge

1,

dann hast du die Basis

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) b_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

benutzt, in dieser pasis konntest du dann Punkte angeben, due weisst wo

P = (3,5)

liegt, aber auch Vektoren,

v = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

also einen Vektor der

4 \in x -

Richtung 3in

y

Richtung zeigt. und du kannst Schreiben

v = 4 \cdot b_{1} + 3 \cdot b_{2}

jeden anderen Vektor kannst du auch so als Linarkombination von

b_{1}

und

b_{2}

schreiben.

d . h

. alle Vektoren in

ℝ^{2}

kann man durch diese 2 Basisvektoren hinschreiben,
Nun kannst du statt dessen einfach 2 Strecken, die nicht parallel und nicht unbedingt gleich lang sind zeichnen und die als Ausgangspunkt am Ende der Strecke machst du einen Pfeil und schreibst ne 1 dran und nennst die eine jetzt

b 1,

die andere

b 2

jetzt kannst du wieder jeden Vektor durch Linearkombination dieser neuen hinschreiben,
Da diese schrägen Vektoren schwer jemand mitzuteilen sind, werden sie in dem alten üblichen System beschrieben,
ich nehm mal als

b 1 = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}), b 2 = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})

den Vektor

v

der mit der alten Basis

v = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

war will ich jetzt als

r \cdot b 1 + s \cdot b 2

beschreiben, dann weiss ich

4 = r \cdot 2 + s \cdot 5; 3 = r \cdot 3 + s \cdot 1

ich finde

r = \frac{6}{13}; s = \frac{11}{13}

und habe

v

damit in der neuen Basis

b 1, b 2

als

\frac{6}{13} \cdot b 1 + \frac{11}{13} \cdot b 2

geschrieben. in der Basis

b 1 b 2

ist

v

also

v = (\begin{matrix} \frac{6}{13} \\ \frac{11}{13} \end{matrix})

d, h

ich kann irgend 2 nicht parallele Vektoren als meinen Ausgangspunkt nehmen um alle Vektoren in der Ebene zu beschreiben.
Das ist im Allgemeinen für Vektoren im

ℝ^{2}

nicht besonders nützlich,. aber es geht. Ich hiffe du kannst das in den rr^3 übertragen, da braucht man

x, y, z

Richtung oder eben 3 Vektoren die linear unabhängig sind,

d . h

. nicht parallel und nicht alle

3

in derselben Ebene.
Für den

ℝ^{2}

und

ℝ^{3}

scheint es nicht sehr sinnig neue Basen einzuführn, aber das sind ja nur die einfachsten Beispiele für Vetorräume, in anderen VR macht es sehr wohl sinn, an die jeweilige Aufgabe angepasste Basen zu nehmen und von einer in die andere Basis umzurechnen,
zu deiner Aufgabe, man sieht wirklich durch hinschauen dass

b_{1} + b_{3}

das

v

gibt.

w

hat hinten 7 also

5 + 2

also muss man erstmal

b 1 + 2 b 2

bilden, dann hat man

(3,3,7)

will aber

(2,2,7)

muss also noch

b 3

abzeihen also

w =

in Koordinatenschreibweise sagt der ersst eintrag die "komponente in

b 1

Richtung ,der 2 te in

b 2

Richtung usw.
also ist

w = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

in der gegebenen Basis.
klarer?
Gruß ledum

Heelie aktiv_icon

03:47 Uhr, 22.11.2014

Danke dir! Das hat auf jeden Fall schon etwas licht ins Dunkel gebracht. Wobei ich immer noch nicht verstanden hab wie ich durch hinschauen auf die Lösung komme. Rechnerisch konnte ich die Lösung finden.

ledum aktiv_icon

21:43 Uhr, 22.11.2014

Hallo
man kann eben verschieden gut "hinschauen, wenn man Mathe mag, aber Rechnen nicht so, gelingt das Hinschauen besser. Auf der Schoke, wo immer nach _Schema

F

gerechnet wird, verlernt man das leicht.
aber zu probieren ob die addition von 2 der gegebenen eine der

v

oder

w

gibt ist eigentlich schneller als rechnen.
Gruß ledum

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