Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Injektiv - Surjektiv - Bijektiv

Injektiv - Surjektiv - Bijektiv

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Khokta aktiv_icon

14:27 Uhr, 22.11.2014

Hallo!

Ich möchte überprüfen,

f : ℝ \to ℝ, x \to x^{3}

injekiv, surjektiv, oder bijektiv ist!
Ich glaube dass die Funktion nicht injektiv ist, weiß aber nicht wie ich es beweisen soll! Und wie sieht es mit der Surjektivität aus?

Lg
Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

17:35 Uhr, 22.11.2014

Hallo,

> Ich glaube dass die Funktion nicht injektiv ist, weiß aber nicht wie ich es beweisen soll!

Nun, du hast doch ein weiteres post mit ähnlichem Thema, da hast du die Sache mit der Injektivität ganz gut gemacht.

Versuche es wie dort, es läuft ganz ähnlich.

Mfg Michael

ledum aktiv_icon

17:57 Uhr, 22.11.2014

Hallo
den Graph der fkt

y = x^{3}

kennst du doch sicher. kommt da ein

y

doppelt vor?
bei so einfachen funktionen macht man sich mal ne skizze dann sieht man alles und muss es nur noch zeigen.
Gruß ledum

Khokta aktiv_icon

14:36 Uhr, 23.11.2014

Ich weiß wie der Graph aussieht, und ich weiß auch dass kein

y

doppelt vorkommt. Aber ich hab grad keine Ahnung wie ich es beweisen soll. Ich fange an mit

a^{3} = b^{3} \equiv a^{3} - b^{3} = 0 \equiv . .

.
Komme einfach nicht weiter.

michaL aktiv_icon

14:42 Uhr, 23.11.2014

Hallo,

a^{3} - b^{3}

ist durch

a - b

teilbar.

Mfg Michael

Khokta aktiv_icon

15:03 Uhr, 23.11.2014

Aber warum? Dann müsste doch

{(a - b)}^{3}

stehen?

Khokta aktiv_icon

15:25 Uhr, 23.11.2014

okay da ja

a^{3} - b^{3} = (a - b) \cdot

(a^2+ab+b^2) ist es durch

(a - b)

teilbar.
Aber was mach ich dann mit (a^2+ab+b^2)?

MfG
Khokta

michaL aktiv_icon

15:49 Uhr, 23.11.2014

Hallo,

> ber was mach ich dann mit (a^2+ab+b^2)?

Zeigen, dass es niemals Null sein kann. :-)

Bedenke, du willst zeigen:

0 = a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Wenn ein Produkt (

a^{3} - b^{3}

) gleich Null ist, aber der eine Faktor (

a^{2} + a b + b^{2}

) niemals Null sein kann, dann ...

Mfg Michael

Khokta aktiv_icon

16:03 Uhr, 23.11.2014

Ist also entweder

a = b,

oder a^2+ab+b^2

= 0

. Letzteres ist aber eine falsche Aussage, da

a \neq b

ist und damit die Aussage wahr ist müssten

a, b = 0

sein oder?
Also gilt nur

a = b

und injektivität. Hoffe ich habs jetzt endlich doch noch verstanden^^

MfG
Khokta

Shipwater aktiv_icon

17:06 Uhr, 23.11.2014

a^{2} + a b + b^{2} = {(\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) = 0 \Rightarrow a = b = 0

Insgesamt impliziert

a^{3} = b^{3}

also schon

a = b,

das ist die Injektivität.

michaL aktiv_icon

17:17 Uhr, 23.11.2014

Hallo,

@Shipwater: Elegant und offenbar von unserem Schützling zu viel erwartet.

@Khokta:

Betrachte

a^{2} + a b + b^{2} = 0

und vergiss die Herkunft (

a^{3} = b^{3}

) nicht!
Daraus können wir schließen, dass im Falle

a^{3} = b^{3}

a

und

b

nicht verschiedene Vorzeichen haben können! (Sonst haben

a^{3}

und

b^{3}

auch verschiedene Vorzeichen!)

Gehen wir mal von

a, b > 0

aus. Dann gilt aber auch

a^{2} + a b + b^{2} > 0

, insbesondere also

a^{2} + a b + b^{2} \neq 0

. (m Falle

a, b < 0

gilt das auch!)

Der dritte Fall wäre

a = b = 0

, aber dann wäre ja schon

a = b

...

Mfg Michael

Khokta aktiv_icon

12:54 Uhr, 24.11.2014

Ok das mit der Injektivität habe ich damit verstanden, danke für die super Erklärung!!
Wie kann ich nun Surjektivität beweisen?
Genügt es, wenn ich umforme also:

y = x^{3} \equiv x = \sqrt[3]{y}

Mit dieser Formel ist gezeigt, dass ich zu jedem

y \in ℝ

ein

x \in ℝ

finde, da die Wurzel einen ungeraden Exponenten hat und daher

y > 0, y = 0, y < 0

sein kann.

Shipwater aktiv_icon

17:08 Uhr, 24.11.2014

An dieser Stelle würde mich mal interessieren was ihr in der Vorlesung alles zu Wurzeln gemacht habt. Und Stetigkeit habt ihr noch nicht behandelt, oder?

Khokta aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.11.2014

Zu Wurzeln haben wir noch gar nichts gemacht. Auch zur Stetigkeit nicht.

Shipwater aktiv_icon

18:15 Uhr, 24.11.2014

Dann google mal nach Existenz von Wurzeln. Ist jetzt nicht ganz so ein kurzer Beweis.

Khokta aktiv_icon

18:41 Uhr, 25.11.2014

Okay ich denke so genau müssen wir das dann wohl nicht beweisen, da wir über die Existenz von Wurzeln gar nichts gemacht haben. Danke euch für die Hilfe!!

Liebe Grüße
Khokta

1201386

1200774

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?