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Injektiv beweisen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, injektiv

Goaly aktiv_icon

11:09 Uhr, 28.11.2010

Aufgabe 1:
Seien

k

und

m

natürliche Zahlen mit

k \neq 0

und sei

f : ℕ \to ℕ

die Abbildung definiert durch Abbildungsvorschrift:

f (n) = k \cdot n + m

Nun muss man beweisen, dass diese Funktion injektiv ist, aber wie?

nach def. der Injektivität ist ja also

f (x 1) = f (x 2) \to x 1 = x 2,

da es jede Zielmenge höchstens ein Urbild besitzt. Aber wie wende ich die Def. konkret an auf die Abbildung?

Andere Aufgabe:
Seien

f : A \to B

und

g : B \to C

Abbildungen. Beweisen oder widerlegen der Aussagen:

a)

wenn

g \circ f

injektiv ist, dann ist

f

injektiv.

b)

wenn

g \circ f

injektiv ist, dann ist

g

injektiv.

a)

wenn

g \circ f

surjektiv ist, dann ist

f

surjektiv.

b)

wenn

g \circ f

surjektiv ist, dann ist

g

surjektiv.

Auf die Aufgabe komme ich noch gar nicht klar. Was injektiv bzw. surjektiv bedeutet, ist mir generell klar, aber ich kanns nicht anwenden.

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Dragonfly7 aktiv_icon

13:03 Uhr, 28.11.2010

Hallo, also ich habe eine andere Definition für die Injektiv kennegelernt und zwar:

$x_{1} \neq x_{2}$ und $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$

(das, ist das was du in diesem Satzt, Zitat: "da es jede Zielmenge höchstens ein Urbild besitzt.", geschrieben hast).

So wenn du dir jetzt deine Funktion (bzw. es ist genau genommen eine Folge) anschaust, siehst du dass es eine Geradengleichung ist.

Und Geraden sind alle streng monoton steigend oder streng monoton fallend.(außer F(n)=0)

Damit ist dann auch schon gezeigt, dass deine Funktion injektiv ist.

Goaly aktiv_icon

13:23 Uhr, 28.11.2010

Ja, das habe ich mir auch schon aufgeschrieben, aber ich muss das doch mathematisch beweisen oder nicht?

\land

Rentnerin

14:46 Uhr, 28.11.2010

Hallo,

Du kannst schon bei Deiner angeführten Definition von "injektiv" bleiben, also aus der Voraussetzung

f (x_{1}) = f (x_{2})

müsste durch logische Folgerungen das Endprodukt

x_{1} = x_{2}

entstehen. Und das ist hier wirklich nicht schwierig.

Sei also

f (n_{1}) = f (n_{2})

, dann folgere:

f (n_{1}) = f (n_{2}) \Rightarrow k \cdot n_{1} + m = . . . \Rightarrow n_{1} = n_{2}

. Irgendwo in dieser Beweiskette wirst Du wohl noch die Voraussetzung

k \neq 0

ausnutzen müssen.

Gruß Rentnerin

Goaly aktiv_icon

15:26 Uhr, 28.11.2010

Aber wie kommt man darauf, wenn man eingesetzt hat, dass

n 1 = n 2

ist?

Rentnerin

15:33 Uhr, 28.11.2010

Behauptest Du ernsthaft, dass Du eine Gleichung der Form

k \cdot n_{1} + m = k \cdot n_{2} + m

durch Äquivalenzumformungen nicht vereinfachen kannst?

Goaly aktiv_icon

15:35 Uhr, 28.11.2010

Sorry, stand komplett auf dem Schlauch. xD Aufgabe gelöst, die andere Aufgabe ist noch offen.

Soweit aber erstmal vielen Dank für die Hilfe!

Rentnerin

15:41 Uhr, 28.11.2010

Wenn

f

nicht injektiv ist, kann dann

g \circ f

injektiv sein?

Goaly aktiv_icon

08:57 Uhr, 29.11.2010

Ich hätte jetzt spontan nein gesagt, aber hätte keine mathematische Begründung gefunden.

: (

Rentnerin

09:50 Uhr, 29.11.2010

Wie wäre es damit:

f

nicht injektiv

\Rightarrow

\exists a_{1}, a_{2} \in A

mit

a_{1} \neq a_{2}

und

f (a_{1}) = f (a_{2})

\Rightarrow

g (f (a_{1})) = g (f (a_{2}))

also

(g \circ f) (a_{1}) = (g \circ f) (a_{2})

d.h.

g \circ f

ist nicht injektiv

Und demnach

g \circ f

injektiv

\Rightarrow

f

....

Goaly aktiv_icon

17:57 Uhr, 29.11.2010

Aber warum betrachten wir den Fall, dass

f

nicht injektiv ist. Ist nicht Voraussetzung, dass

g \circ f

injektiv bzw. surjektiv ist?

Rentnerin

19:24 Uhr, 29.11.2010

Nun das hat wirklich nichts mit "...jektiv" zu tun; das ist Logik.

Voraussetzung:

g \circ f

ist injektiv

Gäbe es nun ein

f

, das nicht injektiv ist, dann würde eben folgen, dass

g \circ f

nicht injektiv ist und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also kann es kein

f

geben, das nicht injektiv ist; also folgt, dass jedes

f

injektiv ist.

Goaly aktiv_icon

18:41 Uhr, 06.12.2010

Danke. ;-)

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