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Integration durch Substitution

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integration, Substitution, Wurzelfunktion

b11nick aktiv_icon

11:32 Uhr, 15.09.2012

Hallo,

ich habe eine Frage zum Integrieren durch Substituieren!

Und zwar habe ich das unbestimmte Integral

\int (\frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}) d x

welches ich lösen möchte.
Als Substitution nehme ich

u = 3 x + 1

. Wenn ich das nun ableite und beides einsetze, bleibt oben noch ein

x

stehen. Wie löst man das am cleversten?

Danke schonmal für die Hilfe und Gruß,
nick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

11:40 Uhr, 15.09.2012

u = 3 x + 1

3 x = u - 1

x = \frac{u - 1}{3}

Jetzt hast du oben auch ein

u

b11nick aktiv_icon

12:04 Uhr, 15.09.2012

Dankeschön! ;-)

Wie sieht es bei dem Integral

\int x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x

aus?

Als Substitution nehme ich

u = 4 - x^{2},

dann käme für

x = \sqrt{4 - u}

raus, wenn ich mich nicht irre. Muss ich das dann nochmal Substituieren?

prodomo aktiv_icon

12:35 Uhr, 15.09.2012

Diese Substitution ist suboptimal. Besser klappt

\frac{x}{2} = sin (z)

und

\int x^{2} \cdot \sqrt{4 - x^{2}} \cdot d x = \int 4 \cdot {sin}^{2} (z) \cdot \sqrt{1 - {sin}^{2} (z)} \cdot 2 \cdot cos (z) \cdot d z = \int (8 \cdot {sin}^{2} (z) \cdot {cos}^{2} (z) \cdot d z

. Mit

sin (2 \cdot z) = 2 \cdot sin (z) \cdot cos (z)

ist der Integrand

2 \cdot {sin}^{2} (2 \cdot z)

b11nick aktiv_icon

12:47 Uhr, 15.09.2012

Okay, mein erstes Problem ist: Wie komme ich auf solche Substitutionen?

Und das zweite Problem: Wie komme ich auf die Lösung

- \frac{1}{2} x \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{4} x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} + 2 {sin}^{- 1} (\frac{1}{2} x)

?!

Bei der Aufgabe bräuchte ich glaub ich eine ausführliche Anleitung, kann mir da bitte jemand helfen? Ich brauche das unbedingt für die Klausur!

prodomo aktiv_icon

16:13 Uhr, 15.09.2012

Das ist mehr oder weniger Erfahrungssache. Es gibt dicke Wälzer, die nur Stammfunktionen enthalten (unsere Vorfahren hatten ja auch Jahrhunderte Zeit, das zu probieren). Heute sieht das immer wie "Kaninchen aus dem Hut" aus. Man versucht, die Terme im Integranden bestimmten bekannten Termen zuzuordnen. Hier ist der Trick

\sqrt{4 - x^{2}} = 2 \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = 2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}

. Und jetzt denke mal an

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1,

dann sieht man die Verwandschaft.

b11nick aktiv_icon

17:41 Uhr, 15.09.2012

Ich habs mal so versucht, aber ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr und das Ergebnis ist leider nicht richtig... Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht bzw. ist der Weg überhaupt richtig?!

x =

2sin(z)

\frac{d x}{d y} =

2cos(z)

= 2 \sqrt{1 - {sin}^{2} (z)}

= 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}

= 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

= \sqrt{4 - x^{2}}

d x = \sqrt{4 - x^{2}} \cdot d z

\int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x = \int 2 {sin}^{3} (z) d z

= 2 \cdot \int (1 - {cos}^{2} (z)) sin (z) d z

u = cos (z)

du/dz

= - sin (z)

d z = - \frac{1}{sin (z)}

2 \cdot \int (1 - {cos}^{2} (z)) sin (z) d z = - 2 \cdot \int 1 - u^{2}

= - 2 [u - \frac{u^{3}}{3}] = - 2 u + \frac{2}{3} u^{3}

u = cos (z)

u = \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} = (\frac{1}{2}) \sqrt{4 - x^{2}}

\Rightarrow - 2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}) + \frac{1}{6} {(4 - x^{2})}^{3} + C

b11nick aktiv_icon

12:35 Uhr, 16.09.2012

Könnte jemand die Rechnung durchgucken? Wäre echt super! :-)

Matlog aktiv_icon

17:44 Uhr, 16.09.2012

Deine Vorgehensweise scheint mir okay.
Ich sehe allerdings ein paar Rechenfehler:
In der achten Zeile Deiner Rechnung müsste es heißen

\int 8 {sin}^{3} (z) d z

.
Und in der letzten Zeile stimmt weder der Faktor

\frac{1}{6}

noch der Exponent 3.

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