Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Algreba, Schnittpunkt 2 Geraden

Lineare Algreba, Schnittpunkt 2 Geraden

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

davidschneider aktiv_icon

21:01 Uhr, 18.01.2017

Hallo, ich habe morgen eine Prüfung und würde mich sehr freuen, wenn mir noch einer schnell die Lösung für folgende Aufgabe nennt, damit ich mir den Gedankengang dazu erschließen kann.

Gegeben sind die Geraden

g : x = (- 1; 2 a; 1) + y (2; a; 1)

und

f : x = (0; - 2; 2) + y (b; 1; 2)

a)

Kann man a und

b

so wählen, dass sich die Geraden schneiden?

b)

Sofern es einen Schnittpunkt gibt, wie lautet dieser?

c)

Wie latet eine beliebige senkrechte Gerade zu f?

d)

Wie lautet eine beliebige parallele Gerade zu g?

Meine Lösungen:

a)Hier bin ich mir total unsicher, kann ich einfach die beiden Richtungsvektoren bzw. a und

b

so wählen, dass das Skalarprodukt der Richtungsvektoren 0 ergibt und sich somit die Geraden schneiden, oder muss ich hierbei anders vorgehen?
b)Hier weiß ich nicht weiter?

c) g : x = (0; - 2; 2) + y (0; 2; - 1) \to

somit Orthogonal,richtig?

d) g : x = (1; 2; 3) + y (2; a; 1) \to

gleicher Richtungsvektor, somit parallel, richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Respon

21:13 Uhr, 18.01.2017

Skalarprodukt

= 0 \Rightarrow

Vektoren orthogonal. Das hat mit dem Schnittpunkt nichts zu tun.

davidschneider aktiv_icon

21:17 Uhr, 18.01.2017

kannst du mir vielleicht bitte bei

a)

und

b)

weiterhelfen, wäre super nett!

Respon

21:22 Uhr, 18.01.2017

Grundidee:
Du hast ( Bezeichnungen habe ich der besseren Übersicht wegen geändert )

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \cdot a \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ a \\ 1 \end{matrix})

f : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} b \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Nun bestimmen nach deinen Methoden den Schnittpunkt dieser Geraden und überprüfe, wie dieser von a und

b

abhängt.

davidschneider aktiv_icon

21:44 Uhr, 18.01.2017

- 1 + r 2 =

sb
2a+ra

= - 2 + s

1 + 1 r = 2 + 2 s

Normalerweise würde ich das Gleichungssystem nun nach

s

und

r

auflösen, dann die beiden Werte in die 1.Zeile einsetzen und schauen ob die 1.Gleichung aufgeht. Anschließend entweder den

s

oder

r

Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen und somit erlangt man den Schnittpunkt.

Aber mir fehlt einfach das Verständnis, wie ich mit den Parametern a und

b

umgehen muss, damit ich diese herausfinde?

Respon

21:53 Uhr, 18.01.2017

Es ist anzunehmen, dass - wenn überhaupt - viele Werte für a und

b

existieren, die zu einem Schnittpunkt führen. Da wir 4 "Unbekannte" haben aber nur 3 Gleichungen, kannst du

z . B

. vorerst

b

als Veränderliche auffassen und

a, r

und

s

durch

b

ausdrücken.
Du wirst dann sicherlich Bruchterme erhalten, aus denen ersichtlich ist welche Wert von a und

b

nicht möglich sind da sie zu nicht definierten Ausdrücken führen.
Für alle anderen erhalten wir aber einen Schnittpunkt.

davidschneider aktiv_icon

22:14 Uhr, 18.01.2017

Also ich habe jetzt für

b = 2

genommen. Ich habe die 1.und 3.Gleichung nach folgenden Werten aufgelöst:

s = - 0,5

r = - 2

Wenn ich diese Werte jetzt in die Zweite Zeile einsetze, dann steht dort:

2 a - 2 a = - 2 - 0,5,

sprich ich bekomme für a keinen Wert, was bedeutet dies nun? Oder habe ich mich verrechnet?

Ich habe aber mal den Wert

s

und

b

oben in die 2 Gerade eingesetzt und erhalte folgenden Schnittpunkt (-1;1;-2)...ist das nun der Schnittpunkt der beiden Geraden?

Wie wäre dann die Antwort auf die Frage

a)

?

Bin leider ein wenig verwirrt, danke aber erstmal bis hierhin!

Respon

22:27 Uhr, 18.01.2017

Wieso nimmts du

b = 2

?
Ich erhalte für

b

als "Veränderliche".

a = \frac{2 \cdot b - 9}{10 - 3 \cdot b}

r = \frac{b - 2}{b - 4}

s = \frac{1}{b - 4}

\Rightarrow

Es muss gelten

: b \neq 4

und

b \neq \frac{10}{3}

Unter diesen Voraussetzungen existiert ein Schnittpunkt.

davidschneider aktiv_icon

22:37 Uhr, 18.01.2017

Leider verstehe ich nicht, wie du auf die 3 Zeilen kommst.

Vorallem verstehe ich desweiteren nicht, wie ich dann mit deiner Antwort auf die Frage

b)

antworten müsste, sprich wie ich nun den Schnittpunkt herausfinde?

Respon

22:44 Uhr, 18.01.2017

Ich habe die Lösungen des Gleichungssystem in

a, b, r

und

s

bestimmt und erhalte eben diese Lösungsterme ( ist natürlich ein wenig Rechenaufwand )
Damit erhalte ich
die Bedingungen, unter denen ein Schnittpunkt überhaupt existiert

(b \neq 4

und

b \neq \frac{10}{3})

Wähle ich nun geeignete a-Werte und b-Werte aus

(b = 2

wäre ja "erlaubt" und liefert mir den a-Wert

- \frac{5}{4}),

so kann ich

r

und

s

bestimmen und daher auch den Schnittpunkt ( ich setze in die Geradengleichung jeweils den Wert für

r

bzw.

s

ein ).

Respon

22:55 Uhr, 18.01.2017

Wenn du willst, kann ich ja meinen Rechenweg aufschreiben ( dauert halt ein paar Minuten ).

davidschneider aktiv_icon

22:57 Uhr, 18.01.2017

wenn es dir nicht zu viel mühe macht, das wäre super. den rest habe ich soweit verstanden, nur wie du auf die 3 Zeilen kommst nicht. Danke

Respon

23:12 Uhr, 18.01.2017

Wir hatten folgendes Gleichungssystem

- 1 + 2 \cdot r = s \cdot b

2 \cdot a + r \cdot a = - 2 + 2 \cdot s

1 + r = 2 + 2 \cdot s

Da uns ja a und

b

interessieren, werde wir

r

und

s

eliminieren
3.Gleichung

r = 1 + 2 \cdot s

Einsetzen in die 1. und 2. Gleichung

- 1 + 2 + 4 \cdot s = s \cdot b \Rightarrow 4 \cdot s - s \cdot b = - 1

2 \cdot a + a + 2 \cdot s \cdot a = - 2 + s \Rightarrow 3 \cdot a + 2 \cdot s \cdot a - s = - 2

s

aus der ersten Gleichung ausdrücken

: s = \frac{1}{b - 4}

In die zweite Gleichung einsetzen:

3 \cdot a + \frac{2 \cdot a}{b - 4} - \frac{1}{b - 4} = - 2

\cdot (b - 4)

unter der Voraussetzung

b \neq 4

3 \cdot a \cdot b - 12 \cdot a + 2 \cdot a - 1 = - 2 \cdot b + 8

3 \cdot a \cdot b - 10 \cdot a = - 2 \cdot b + 9

a = \frac{9 - 2 \cdot b}{3 \cdot b - 10}

\Rightarrow b \neq \frac{10}{3}

Das wären die Bedingungen für a und

b

.
Für den Schnittpunkt brauchen wir

r

oder

s (

zur Kontrolle beide ).

s = \frac{1}{b - 4}

haben wir ja schon als "Nebenprodukt" erhalten, zur Kontrolle bestimme

r

aus irgend einer der ursprünglichen Gleichung.

Für das Ausflösen eines LGS es verschiedene Methoden ( Eliminationsmethode, Komparationsmethode, Substitutionsmethode, Gauss, Cramersche Regel,

...)

. verwende deine Lieblingsmethode, ändert nichts am Ergebnis.

Respon

23:17 Uhr, 18.01.2017

Ein anderer Weg führt über eine Hilfsebene.
Wenn die beiden Geraden einander schneiden, dann liegen sie in einer Ebene. Ihre Gleichung sieht so aus:

ε : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} b \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ a \\ 1 \end{matrix})

Der Punkt

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \cdot a \\ 1 \end{matrix})

muss ebenfalls auf der Ebene liegen

\Rightarrow

usw.

davidschneider aktiv_icon

23:19 Uhr, 18.01.2017

Vielen Dank für die Hilfe, das hilft mir sehr weiter!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1350804

1350764

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?