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Monotonie einer Folge beweisen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Folgen, Monotonie

Stochast aktiv_icon

23:28 Uhr, 02.09.2010

Ich muss die Monotonie dieser Folge beweisen:

(an)n

e N;

an = Wurzel/n+1 - Wurzel/n

Da ich schlecht eine Wurzel hier aufzeichnen kann, hoffe ich dass das auch so verständlich ist.

Ich bin so weit gekommen, dass ich folgende Ungleichung habe..

Wurzel/n+1 - Wurzel/n

>

Wurzel/n+2 - Wurzel/n+1

Doch wie mache ich weiter ?

Ach und wenn ihr schon dabei seid.. bei der Folge an=3^n

- n^{3} .

. komme ich überhaupt nicht weiter. Wäre echt super, wenn ihr mir den Beweis erklären könntet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

08:32 Uhr, 03.09.2010

...die Wurzel schreibst du so wie ich in den Gänsefüßchen "sqrt(a+b)" und das sieht dann so aus

\sqrt{a + b}

...die

3 \frac{.}{4}

. oder n-te Wurzel geht so "\root(3) (a+b)" oder "\root(n) (a+b)" und das sieht dann so aus:

\sqrt[3]{a + b}

oder

\sqrt[n]{a + b}

Also, für die Monotonie (da keine Angabe gemacht wurde, aber man vermuten kann, dass die Monotonie fallend ist) sollte dann gelten:

\sqrt{(n + 1) + 1} - \sqrt{(n + 1)} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}

\frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} < \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}

\sqrt{\frac{n + 2}{n + 1}} - 1 < 1 - \sqrt{\frac{n}{n + 1}}

\sqrt{\frac{n + 2}{n + 1}} + \sqrt{\frac{n}{n + 1}} < 2

\sqrt{\frac{n + 2}{n + 1}} + \sqrt{\frac{n}{n + 1}} < 2

\sqrt{n + 2} + \sqrt{n} < 2 \cdot \sqrt{n + 1}

\sqrt{n + 2} + \sqrt{n} < \sqrt{4 \cdot n + 4}

(n + 2) + 2 \cdot \sqrt{n + 2} \cdot \sqrt{n} + n < 4 \cdot n + 4

2 \cdot \sqrt{n + 2} \cdot \sqrt{n} < 2 \cdot n + 2

\sqrt{n^{2} + 2 \cdot n} < n + 1

n^{2} + 2 \cdot n < {(n + 1)}^{2}

n^{2} + 2 \cdot n < n^{2} + 2 \cdot n + 1

0 < 1

;-)

BjBot aktiv_icon

10:06 Uhr, 03.09.2010

Weniger Arbeit hat man, wenn man

\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

benutzt

(3

. bin. Formel)

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