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Partialbruchzerlegung z/(1-z-z^2)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Nullstell, Partialbruchzerlegung, Potenzreihe

Panni aktiv_icon

19:50 Uhr, 23.05.2016

Hallo zusammen,
als Übung sollen wir für die Funktion

f (z) = \frac{z}{1 - z - z^{2}}

eine Partialbruchzerlegung durchführen.
Als Tipp sollen wir die Nullstellen von

z^{2} + z - 1

zur verkürzten Schreibweise als

q_{1}

und

q_{2}

bezeichnen, welche wohl die selben wie die von

z^{2} + z - 1

sind.
Das Kontrollergebnis ist dann

f (z) = - \frac{q_{1}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{z - q_{1}} + \frac{q_{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{z - q_{2}}

Ich habe nun allerdings keine Ahnung wie ich dort hinkomme, kann mir hierbei jemand behilflich sein?

Danke schon mal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

21:55 Uhr, 23.05.2016

Hast du die Nullstellen

q_{1}

und

q_{2}

schon bestimmt?
Wie lautet damit dein allgemeiner Ansatz für die PBZ?

Panni aktiv_icon

22:11 Uhr, 23.05.2016

Ich bin jetzt bis zum LGS durch den Koeffizientenvergleich gekommen:

\frac{z}{z^{2} + z - 1} = \frac{(A + B) \cdot z + q_{2} A + q_{1} B}{z^{2} + z - 1}

Terme ohne

z : 0 = q_{1} B + q_{2} A

Terme vor

z : 1 = A + B

Als Nullstellen habe ich per pq-Formel aus

z^{2} + z - 1

folgende Werte herausbekommen:

z_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

und

z_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

Ich finde jetzt allerdings keine Lösung für das LGS und bin mir nicht sicher wie danach das weitere Vorgehen ist.

ledum aktiv_icon

23:14 Uhr, 23.05.2016

Hallo
das GS iist doch einfach

a)

aus einer der Gl A ausrechnen in die 2 te einsetzen du hast eine lineare Gl für

B

b =

die Gl

A + B = 1

mit

q 2

multiplizieren und von der anderen abziehen, ergibt eine Gl für

B

dann bist du eigentlich ohne Einsetzen der

q

fertig, die kannst du dann noch einsetzen.
Gruß ledum

Roman-22

23:35 Uhr, 23.05.2016

Hast du da nicht Vorzeichenfehler?
Die Nenner deiner Brüche sollten doch

z - q_{1}

und

z - q_{2}

lauten.

Wenn du damit aber die Vorzeichenänderung im Nenner berücksichtig haben wolltest, dann müste eben im Zähler vor

(A + B)

ein Minus sein.

Der Vorzeichenfehler hat allerdings bei deinem Beispiel keine Auswirkung auf die Lösung, der der Ausdruck so oder so Null sein soll.

Wie das System zu lösen ist, hat dir ja ledum schon geschrieben.

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