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Potenzen ???

Universität / Fachhochschule

20:08 Uhr, 26.10.2010

Hallo,
ich habe die Aufgabe:
Mit

α = \sqrt{2}

gilt für die Zahlen

x_{1} = α

, x 2 = α^{α}

, . .

, x_{n + 1} = α^{x_{n}}, . .

.
und jedes natürliche

n \geq 1

stets

x_{n} \leq 2

.

Also die sache an sich ist mir ja klar, dass immer

{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}

und so weiter, also immer

x_{1}

hoch das vorherige

x

von dem was gerade gemeint ist. Aber wie beweist man denn so was?
Bitte helft mir!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

15:54 Uhr, 28.10.2010

Hier tut es die gute alte Induktion:
Zuerst zeigen wir, dass es für

n = 1

gilt und dann, dass sich aus der Gültigkeit der Formel für beliebiges

n

die Gültigkeit für

n + 1

folgern lässt.

Für

n = 1

ist es offensichtlich:

\sqrt{2} \leq 2

(im Zweifel quadrieren)

Angenommen, die Formel gilt für

n

, also

x_{n} \leq 2

, dann ist

x_{n + 1} = {\sqrt{2}}^{x_{n}} \leq {\sqrt{2}}^{2} = 2

, da

x_{n} \leq 2

(eventuell wird hier eine genauere Begündung, z.B. mit Monotonie, erwartet)

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