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Schaubild einer Funktion

Schüler

Tags: Funktion

JanukKunis aktiv_icon

13:53 Uhr, 24.04.2014

Aufgabe, siehe Anhang.

1 .)

Die Funktion ist vierten Grades. Denn es gibt eine dreifache und eine einfache Nullstelle mit VZW

(3

Nullstellen

+ 1

Nullstelle = Funktion 4. Grades).

Eigenschaften:

- Vierten Grades
- Es gibt einen Sattelpunkt und eine einfache Nullstelle mit VZW
- Die Funktion verläuft vom 3. zum 4. Quadranten

2 .)

Formel: a(x−x1)(x−x2)

- - \to

Nullstellenansatz

Nun meine Fragen:

Stimmt 1 und was könnte man ergänzen? Wie rechne ich 2. Wirklich mit dem Nullstellenansatz?

Vielen Dank ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

prodomo aktiv_icon

15:08 Uhr, 24.04.2014

1)Berücksichtige, dass die Parabel 4. Grades nach unten geöffnet ist.

2)

Dein Nullstellenansatz berücksichtigt nicht, dass es, wie du selbst gefunden hast, eine dreifache Nullstelle gibt.

f (0)

ist schwer ablesbar, daraus könntest du a bestimmen.

JanukKunis aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.04.2014

1 .)

Was bedeutet das?

2 .)

Könntest du mal bitte vorrechnen, wie ich dann weiter machen muss. Würde mich sehr weiter helfen!

magix aktiv_icon

21:39 Uhr, 24.04.2014

Warum machst du eigentlich wieder einen neuen Thread auf für eine Funktion, mit der ich mich vor Tagen schon beschäftigt habe? Ich finde sowas nicht wirklich witzig.

Gruß Magix

Landei aktiv_icon

21:46 Uhr, 24.04.2014

Vier Kurven, fünf

(!)

Grade, 6 Unbekannte, 6 Bedingungen.

y = a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f

y' = 5 a x^{4} + 4 b x^{3} + 3 c x^{2} + 2 d x + e

y'' = 20 a x^{3} + 12 b x^{2} + 6 c x + 2 d

6 Bedingungen einsetzen:

y (- 1) = 0 = - a + b - c + d - e + f

y (1) = 2 = a + b + c + d + e + f

y (3) = 0 = 273 a + 81 b + 27 c + 9 d + 3 e + f

y' (- 1) = 0 = . .

. usw

y' (2) = 0 = . .

. usw

y'' (- 1) = 0 = . .

. usw

. .

. nach 3 Stunden rechnen:

a = 0

(also doch nur Vierten Grades)

b = - 0,125

c = 0

d = 0,75

e = 1

f = 0,375

y = - \frac{x^{4}}{8} + \frac{3}{4} x^{2} + x + \frac{3}{8}

Würde mich nur interessieren, warum man nicht gleich eine Funktion 4. Grades nimmt und auf eine Angabe verzichtet. Nur auf welche???

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

JanukKunis aktiv_icon

21:53 Uhr, 24.04.2014

@Magix

Da haben wir doch eine andere Aufgabe behandelt. Also Aufgabe

1.2

und nicht wie hier gefragt

1.3

@Landei

Deine Antwort ist für mich leider von einem anderen Stern.

Danke euch!

magix aktiv_icon

21:56 Uhr, 24.04.2014

Du hast dich damals zwar nur mit

1.2

beschäftigt, ich aber schon auch mit

1.3

. Nur bist du auf das, was ich zu

1.3

. gesagt habe, nicht eingegangen.

Ich gebe dir recht bezüglich der Antwort von Landei, ich verstehe auch nur "Bahnhof".

Nachdem Prodomo anscheinend schon Feierabend hat, werde ich mich also nochmal mit

1.3

befassen.

magix aktiv_icon

22:02 Uhr, 24.04.2014

Zunächst nochmal zu der Beschreibung des Graphen. Diese Frage hat den Sinn, dich für die Aussagen zu sensibilisieren, die man aus dem Kurvenverlauf herausziehen kann und anschließend für die Aufstellung von Gleichungen verwenden kann.

Du hast schon richtig die Nullstellen benannt. Aber es steckt noch mehr drin. Denk mal an die 1. und 2. Ableitung. Lassen sich hierfür auch Aussagen machen?

JanukKunis aktiv_icon

22:08 Uhr, 24.04.2014

Vielen Dank Magix und entschuldige bitte meinen Fehler bezüglich des alten Threads.

Das Thema "ableiten" hatten wir in der Schule noch nicht. Kommt erst in einigen Wochen dran. Daher kann ich bezüglich "Ableitungen" leider noch nichts sagen.

In Anbetracht dessen, dürfte meine Antwort eigentlich vollständig sein... Oder?

magix aktiv_icon

22:16 Uhr, 24.04.2014

Ok, das ist eine sehr wichtige Information, dass ihr noch keine Ableitungen hattet. Dann ist die Lösung von Landei natürlich noch sehr viel unverständlicher.

Und dann ist auch klar, das du nur mit dem Nullstellenansatz arbeiten kannst. Dabei musst du aber berücksichtigen, dass

- 1

eine dreifache Nullstelle ist. Und den Hinweis von Prodomo mit der nach unten geöffneten Parabel ist auch wichtig, ebenso wie der auf das

a,

das man über den y-Wert an der Stelle 0 rauskriegen könnte.

JanukKunis aktiv_icon

22:22 Uhr, 24.04.2014

Dann ist ja meine Beschreibung richtig und vollständig?

Bezüglich des Nullstellenansatzes.

Dafür habe ich mir folgende Formel aufgeschrieben:

a (x - x 1) (x - x 2)

Hier ist aber noch nicht die Öffnung nach unten berücksichtigt und die dreifache Nullstelle auch nicht.

Meine Idee:

Formel: -a(x-x1)³(x-x2)

Könnte das stimmen?

Wie nennt man den Nullstellenansatz eigentlich noch? Über Google findet man da komischerweise kaum was.

Landei aktiv_icon

22:22 Uhr, 24.04.2014

Ich habe 6 Bedingungen gefunden und diese in die Funktion und deren Ableitungen eingesetzt. Da wusste ich nicht, dass Ableitungen nicht bekannt sind.

Was im Konkreten ist da unklar (ab wo)? Ich helfe gerne.

magix aktiv_icon

22:25 Uhr, 24.04.2014

Kann ich dir leider auch nicht sagen, wie man das noch nennen könnte. Aber dein Ansatz ist so schon mal ganz gut. Jetzt setz noch die konkreten Nullstellen ein und multiplizier mal aus. Dann schauen wir, ob wir das a auch noch zu fassen kriegen.

JanukKunis aktiv_icon

22:35 Uhr, 24.04.2014

Stehe gerade auf dem Schlauch wie man das einsetzt.

-a(x-x1)³(x-x2)

Dreifache Nullstelle

= - 1

Einfache Nullstelle

= 3

Eingesetzt:

-a(x+1)³(x-3)

Korrekt?

@Landei

Auch vielen Dank, für deine Antwort. Hätte ich direkt schreiben sollen, dass wir das Thema "Ableiten" noch nicht hatten!

magix aktiv_icon

22:38 Uhr, 24.04.2014

Ja, das ist ok.

JanukKunis aktiv_icon

22:48 Uhr, 24.04.2014

Könntest du zeigen, wie man das nun weiter löst?

Respon

22:51 Uhr, 24.04.2014

Die Grafik ist nicht wirklich augenfreundlich. Ist aber

f (0) = \frac{1}{4},

so hätten wir

a = - \frac{1}{12}

Die dazugehörige Grafik sieht schon gut aus.

JanukKunis aktiv_icon

22:55 Uhr, 24.04.2014

Also ich meinte eher, wie du die Klammer beziehungsweise die Aufgabe ausgerechnet hast.

Klammer ausrechnen im Format (Klammer 1)(KLammer

2)

ist kein Problem. Aber mit dem

- a

und dem ³ weiß ich da nicht weiter.

Respon

22:59 Uhr, 24.04.2014

f (x) = - a \cdot {(x + 1)}^{3} \cdot (x - 3)

f (0) = \frac{1}{4}

f (0) = - a \cdot {(0 + 1)}^{3} \cdot (0 - 3) = 3 \cdot a

\Rightarrow 3 \cdot a = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{12}

Also

f (x) = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{3} \cdot (x - 3)

magix aktiv_icon

22:59 Uhr, 24.04.2014

Ganz einfach. Du multiplizierst erst mal aus, bis auf das

a

. Ich würde übrigens einfach mal a schreiben, nicht

- a

. ich glaube nämlich, dass sich das - später von selber ergibt.
Edit, korrigiert

23 : 24

Uhr:

a {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3) =

= a (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 3) =

= a (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{2} - 2 x - 3) =

= a (x^{4} - 6 x^{2} - 8 x - 3)

Bleibt nur noch das Problem mit dem

a

.

Und da ist mir vorhin beim nochmaligen Anschauen des Funktionsgraphen aufgefallen, dass sich die Stelle

(1,2)

wesentlich besser eignet, um a auszurechnen als irgend ein geschätzter y-Wert für

x = 0

.

also

(1,2)

einsetzen:

f (1) = a (1 - 6 - 8 - 3) = 2

- 16 a = 2

a = - \frac{2}{16} = - 0,125

In die obige Funktion einsetzen und ausmultiplizieren:

f (x) = - 0,125 (x^{4} - 6 x^{2} - 8 x - 3) =

= - 0,125 x^{4} + 0,75 x^{2} + x + 0,375

Respon

23:08 Uhr, 24.04.2014

Bei

P (1 | 2)

wäre dann

a = - \frac{1}{8}

( Gute Zusammenfassung bez. Mehrfachnullstellen und
grafische Interpretation www.nachhilfe-karrer.de/mathematische-begriffe-und-definitionen/vielfachheiten-der-nullstellen )

magix aktiv_icon

23:13 Uhr, 24.04.2014

@respon: Kannst du mir bitte mal verraten, woher die

- \frac{1}{8}

kommen? Oder deine vorherigen

- \frac{1}{12}

?
Oder wo in meiner Rechnung der Fehler liegt, falls es da einen gibt?

Respon

23:16 Uhr, 24.04.2014

f (x) = a \cdot {(x + 1)}^{3} \cdot (x - 3)

Gehen wir davon aus, dass

P (1 | 2)

ein Punkt des Graphen ist.

f (1) = 2

f (1) = a \cdot {(1 + 1)}^{3} \cdot (1 - 3) = a \cdot 8 \cdot (- 2) = - 16 \cdot a

\Rightarrow - 16 \cdot a = 2 \Rightarrow a = - \frac{1}{8}

so ungefähr

. .

magix aktiv_icon

23:18 Uhr, 24.04.2014

Danke, bin gerade selber drauf gestoßen, wo in meiner Multiplikation der Fehler ist. Zu blöd1 ich korrigiere es gleich, damit es nicht so falsch stehen bleibt.

JanukKunis aktiv_icon

23:38 Uhr, 24.04.2014

Also auf

a = 3

komme ich auch ;-)

Komischerweise geht es bei euch dann mit

3 . a = \frac{1}{4} \to \frac{1}{12}

Wie kommt ihr da drauf. Ansonsten alles richtig toll erklärt. Danke euch vielmals ;-)

magix aktiv_icon

08:00 Uhr, 25.04.2014

Nein,

a = 3

ist leider falsch.
Schau halt bitte nochmal meinen letzten großen Post an, wo ich erst den Nullstellenansatz ausmultipliziert hab. Anschließend habe ich den Punkt

(2,1)

in die Funktion eingesetzt und da kommt für a dann

- \frac{1}{8}

oder

- 0,125

(als Dezimalbruch) raus. Und dieses a ist die einzig richtige Lösung, alles andere ist Schmarrn.

Ganz zum Schluss habe ich dann noch

f (x)

mit diesem a multipliziert und

f (x) = - 0,125 x 4 + 0,75 x 2 + x + 0,375

erhalten. Das ist genau dasselbe, was Landei auch rausbekommen hat, nur auf einem Weg, den du noch gar nicht kennst und der dir deshalb auch nichts nützt. Ganz davon abgesehen, dass er in diesem Fall wesentlich umständlicher und aufwändiger ist als der Nullstellenansatz.

Gruß Magix

Bummerang

08:29 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

noch ein Tip: Eine Funktion mit 4 Nullstellen (eine dreifache und eine einfache) ist nicht zwangsläufig vierten Grades sondern "nur" minimal vierten Grades! Jede ganzrationale Funktion mit einem Grad der sich von 4 um eine gerade Zahl unterscheidet, ist ebenfalls eine mögliche Funktion. Insofern ist die erste Frage schon mal falsch. Und der Ansatz von Landei fraglich, denn wenn man 4 reelle Nullstellen voraussetzt, wird jeder Algorithmus den Koeffizienten von

x^{5}

als Null errechnen. Ein Ansatz mit

x^{6}

hätte eine parameterhaltige Lösung ergeben. Nur weil man 6 Bedingungen ablesen konnte, kann man doch nicht einfach vorbehaltlos einen Ansatz mit dem Grad 5 machen! Bei 4 Nullstellen und 6 Bedingungen ist das Gleichungssystem nur überbestimmt und kann sogar dazu führen, dass es gar keine Lösung gibt. Dann ist sichergestellt, dass die Funktion minimal 6-ten Grades ist.

Auch die zweite Frage zeugt, unabhängig davon dass man nur den minimalen Grad kennt, von einer gewissen mathematischen Unkenntnis des Fragestellers oder der Fragestellerin. Anhand von abgelesenen Werten ist immer nur ein Funktionsterm ermittelbar, der dem gegebenen annähernd, meinetwegen auch bestmöglich, entspricht!

JanukKunis aktiv_icon

10:47 Uhr, 25.04.2014

Freue mich gerade. Habe das ganze nun nach einer weiteren halben Stunde verstanden. Vielen Dank an euch und an diese super Video zu dem Thema: youtu.be/C2keCSDCy6U

Ich habe nun auch als Lösung

- \frac{1}{8}

erhalten.

@Bummerang

Also muss die Formulierung lauten: Die Funktion ist mindestens vierten Grades. Dazu noch mal eine kurze Frage. Der höchste Exponent in einer Funktion sagt immer aus, welchen Grades die Funktion mindestens ist? Also ist der höchste Exponent

5,

dann hat die Funktion mindestens 5 Nullstellen aber nicht unbedingt maximal nur 5?

@magix

Zwei kleine Fragen habe ich noch:

1 .)

Die

- \frac{1}{8}

setzt du in eine Gleichung ein. Wo hast du die genau her? Kann da nicht folgen.

2 .)

Eigentlich muss ich beim Nullstellenansatz nicht beachten ob die Funktion nach unten oder nach oben geöffnet ist oder? Weil die Funktion war ja bei diesem Beispiel nach unten geöffnet und trotzdem konnte ich a angeben und musste nicht

- a

angeben?

Das verstehe ich nicht. Denn die Funktion ist nach unten geöffnet. Also muss ich ja eigentlich

- a

schreiben. Rechne ich aber mit

- a

kommt

16 a

und nicht

- 16 a

raus. So mit wäre das Ergebnis falsch, obwohl ich das a berechtigterweise mit einem - ausgestattet habe?

Liebe Grüße

Bummerang

11:14 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

"Also muss die Formulierung lauten: Die Funktion ist mindestens vierten Grades."

Das wäre die mathematisch korrekte Formulierung.

"Dazu noch mal eine kurze Frage. Der höchste Exponent in einer Funktion sagt immer aus, welchen Grades die Funktion mindestens ist?"

Nein! Der höchste Exponent sagt immer aus, welchen Grades die Funktion ist, und zwar genau! Damit sagen höchster Exponent und Grad, die beide gleich sind, etwas über die maximale Anzahl an reellen Nullstellen aus, und nur die reellen Nullstellen kannst Du in diesem zweidimensionalen Schaubild auch sehen,

d . h

. ablesen! Die Anzahl aller Nullstellen, reelle und komplexe Nullstellen ist nämlich gleich dem Grad der Funktion und damit gleich dem höchsten Exponenten. Da aber die reellen Nullstellen nur eine Teilmenge aller Nullstellen sind, kann die Anzahl der reellen Nullstellen nur kleiner oder maximal gleich dem Grad sein. Bei ganzrationalen Funktionen kommt hinzu, dass alle komplexen Nullstellen paarweise mit ihren konjugiert komplexen Werten auftreten.

D . h

. wenn es eine komplexe Nullstelle gibt, dann gibt es auch eine zweite, konjugiert komplexe. Und die Vielfachheit einer komplexen Nullstelle ist die selbe, wie die Vielfachheit der dazu konjugiert komplexen Nullstelle. So kann es niemals sein, dass eine ganzrationale Funktion 5-ten Grades genau 4 oder genau 2 reelle Nullstellen hat. Sie hat immer

5, 3

oder 1 reelle Nullstelle. Deshalb ist ein Ansatz mit einer ganzrationalen Funktion 5-ten Grades bei genau 4 reellen Nullstellen von vornhinein überflüssig!

"Also ist der höchste Exponent

5,

dann hat die Funktion mindestens 5 Nullstellen aber nicht unbedingt maximal nur 5?"

Nein! Wenn der höchste Exponent 5 ist, dann hat die Funktion maximal 5 reelle Nullstellen aber genau 5 Nullstellen, wenn man die komplexen Nullstellen mit dazu zählt! Hat man die reellen Nullstellen gegeben, dann ist es natürlich umgekehrt, dann hat die Funktion bei

n

reellen Nullstellen einen Grad von mindestens

n!

JanukKunis aktiv_icon

19:42 Uhr, 25.04.2014

Vielen lieben Dank ;-)

Weiß jemand dazu eine Antwort?

Zwei kleine Fragen habe ich noch:

1 .)

Die

- \frac{1}{8}

setzt du in eine Gleichung ein. Wo hast du die genau her? Kann da nicht folgen.

2 .)

- a

angeben?

Das verstehe ich nicht. Denn die Funktion ist nach unten geöffnet. Also muss ich ja eigentlich

- a

schreiben. Rechne ich aber mit

- a

kommt

16 a

und nicht

- 16 a

raus. So mit wäre das Ergebnis falsch, obwohl ich das a berechtigterweise mit einem - ausgestattet habe?

Liebe Grüße

JanukKunis aktiv_icon

20:04 Uhr, 25.04.2014

Habe mich gerade noch mal damit beschäftigt.

Stimmt auch folgendes Ergebnis:

- \frac{1}{8}

(x+1)³

(x - 3)

magix aktiv_icon

20:09 Uhr, 25.04.2014

Hallo,

die Gleichung, in die ich einsetze, ist die

f (x)

. Ich habe in die ausmultiplizierte Form eingesetzt, Respon in die faktorisierte. Das kann man machen, wie man möchte. Du setzt für

x

überall den x-Wert des Punktes ein und hinter dem = den y-Wert. dann ist a die einzige Variable in dem ausdruck und lässt sich leicht berechnen.

Und du hast recht, dass man das mit dem Minus nicht schon vorher bedenken muss, sondern es ergibt sich automatisch. Eher kann man es im Hinterkopf behalten, dass ein "minus" rauskommen muss.

Gruß Magix

magix aktiv_icon

20:11 Uhr, 25.04.2014

Ja, auch dieses Ergebnis ist richtig.

Atlantik aktiv_icon

20:12 Uhr, 25.04.2014

"1.) Die

- \frac{1}{18}

setzt du in eine Gleichung ein. Wo hast du die genau her? Kann da nicht folgen."

f_{a} (x) = a \cdot {(x + 1)}^{3} \cdot (x - 3)

wegen Dreifachnullstelle bei

N (- 1 | 0)

und Einfachnullstelle bei

N (- 1 | 0)

P (1 | 2)

liegt auf dem Graph der Funktion:

f_{a} (1) = a \cdot {(1 + 1)}^{3} \cdot (1 - 3)

a \cdot {(1 + 1)}^{3} \cdot (1 - 3) = 2

8 a \cdot (- 2) = 2

- 16 a = 2 | : (- 16)

a = - \frac{1}{8}

f (x) = - \frac{1}{8} {(x + 1)}^{3} \cdot (x - 3)

"2.) Eigentlich muss ich beim Nullstellenansatz nicht beachten ob die Funktion nach unten oder nach oben geöffnet ist oder? Weil die Funktion war ja bei diesem Beispiel nach unten geöffnet und trotzdem konnte ich a angeben und musste nicht −a angeben?"

Ob nun a einen positiven oder auch negativen Wert annimmt, brauchst du beim Nullstellenansatz nicht beachten. Also du brauchst das "-a " im Ansatz nicht. Siehe meine Rechnung zur Bestimmung des

a

.

mfG

Atlantik

JanukKunis aktiv_icon

20:31 Uhr, 25.04.2014

Vielen lieben Dank, jetzt habe ich die Aufgabe restlos verstanden ;-)

Super Forum hier ;-)

Einen schönen Abend!!!!

JanukKunis aktiv_icon

20:32 Uhr, 25.04.2014

Vielen lieben Dank, jetzt ist alles klar ;-)

JanukKunis aktiv_icon

20:32 Uhr, 25.04.2014

Vielen lieben Dank, jetzt ist alles klar ;-)

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