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Stetigkeit von f(x,y)

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

anonymous

19:05 Uhr, 08.09.2013

f (x, y) := \frac{x \cdot y^{2}}{x^{2} + y^{4}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und sonst

= 0;

also für

(x, y) = (0,0)

.

Wie kann ich die Funkrion auf Stetigkeit in

(0,0)

untersuchen? Also mit Polarkoordinaten bin ich nicht weitergekommen...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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19:12 Uhr, 08.09.2013

Suche eine Folge

{(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix})}_{n \in ℕ}

mit

(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

so, dass

{(f (x_{n}, y_{n}))}_{n \in ℕ}

nicht gegen

f (0,0) = 0

konvergiert.

anonymous

19:44 Uhr, 08.09.2013

Danke für deine schnelle Antwort.
Also wie meinst du das jetzt:

x_{n} : = \frac{1}{n},

also

lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

und

y_{n} := \frac{1}{n}, lim_{n \to \infty} y_{n} = 0

.
So etwa? Wie gehts jetzt weiter ?

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19:54 Uhr, 08.09.2013

Man kann es ja mal damit versuchen. Es folgt dann

f (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} = \frac{n}{n^{2} + 1} \to 0 = f (0,0)

für

n \to \infty

Das bringt dir nun aber rein gar nichts, denn um die Stetigkeit zu widerlegen darf die Folge der Funktionswerte ja gerade nicht gegen den Funktionswert konvergieren. Du musst also weitersuchen, versuch es noch mit paar anderen Folgen.

anonymous

19:57 Uhr, 08.09.2013

Jo das habe ich auch raus bekommen. Aber was ist wenn die Funktion in

(0,0)

stetig ist? Dann suche ich doch umsonst?

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20:05 Uhr, 08.09.2013

Da hast du natürlich Recht, aber ich hab ja bereits angedeutet, dass die Funktion unstetig ist. Also ich setze anfangs immer ein paar Standardfolgen testweise ein und sehe dann ja, ob die Folge der Funktionswerte immer gegen den entsprechenden Funktionswert konvergiert oder nicht. Falls nicht hab ich die Stetigkeit schon widerlegt, falls doch versuche ich dann den Ausdruck so abzuschätzen, dass man die Stetigkeit sehen kann.
Man kann auch direkt anfangen und versuchen abzuschätzen, aber hier wird eben nicht das gelingen was man für Stetigkeit gerne hätte. Naheliegend ist

\frac{| x y^{2} |}{x^{2} + y^{4}} \leq \frac{\frac{1}{2} (x^{2} + y^{4})}{x^{2} + y^{4}} = \frac{1}{2}

abzuschätzen, aber das ist ja schon zu stark. Da die verwendete Abschätzung aber eigentlich recht schwach ist, kann man dann schon auf die Idee kommen, dass das Ding gar nicht stetig ist und geht auf Folgensuche.

anonymous

20:40 Uhr, 10.09.2013

Danke für deinen Tipp mit der Folge. Hab's inzwischen auch raus bekommen. Ich habe

x_{n} = \frac{1}{n^{2}}

und

y_{n} = \frac{1}{n}

gesetzt und somit für

f (x_{n}, y_{n}) = \frac{1}{2}

rausbekommen.

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13:09 Uhr, 12.09.2013

Genauso gehts.

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