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Stetigkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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19:04 Uhr, 18.01.2017

Hallo,

ich soll zeigen, dass

f : (0, 1] \to ℝ, f (x) = \frac{1}{x^{2}}

stetig ist.

Habe so angefangen:

Sei

ε > 0

beliebig und

x, y \in (0, 1]

.
Es gilt

∣ f (x) - f (y) ∣ = ∣ \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} ∣ = ∣ \frac{y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2} y^{2}} ∣ = ∣ \frac{y^{2} - x^{2}}{x 2 y^{2}} ∣ = \frac{1}{x^{2} y^{2}} ∣ y^{2} - x^{2} ∣ = \frac{1}{x^{2} y^{2}} ∣ x^{2} - y^{2} ∣ = \frac{1}{x^{2} y^{2}} ∣ x + y ∣ ∣ x - y ∣ < \frac{x + y}{x^{2} y^{2}} δ

.
Mein Problem ist jetzt, das Abschätzen. Da

x, y \in (0, 1]

wird der Bruch vor dem

δ

immer größer, desto näher die Werte an der 0 sind.
Oder muss ich gar nicht abschätzen, da es ja nicht funktioniert und

δ = ε \frac{x^{2} y^{2}}{x + y}

wählen?

Das ich nicht abschätzen kann, wäre ja ein Grund dafür, dass die so definierte Funktion nicht gleichmäßig stetig sein kann, da das

δ

von x abhängig ist, oder?

Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

mihisu aktiv_icon

20:53 Uhr, 18.01.2017

Das

δ

darf nicht von

x

und

y

abhängen, sondern nur von einer der beiden Variablen (nämlich von der Stelle an der man die Stetigkeit überprüft). Das gilt auch wenn die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist. (Bei gleichmäßiger Stetigkeit dürfte es von keiner der beiden Variablen

x, y

abhängen.)

Du musst also weiter abschätzen.

\\\\

Für alle

x, y \in (0, 1]

mit

| x - y | < \frac{y}{2}

ist

\frac{y}{2} < x

. Dann ist

\frac{1}{x^{2}} \leq \frac{4}{y^{2}}

und du kannst

| \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} |

= \frac{1}{x^{2} \cdot y^{2}} \cdot (x + y) \cdot | x - y |

\leq \frac{2}{y^{2} \cdot y^{2}} \cdot (x + y) \cdot | x - y |

\leq \frac{2}{y^{2} \cdot y^{2}} \cdot (1 + 1) \cdot | x - y |

= \frac{4}{y^{4}} \cdot | x - y |

abschätzen. Betrachte ein beliebiges

ɛ > 0

. Wählst du nun

δ = min {\frac{y^{4}}{4} \cdot ɛ, \frac{y}{2}},

so erhälst du die Abschätzung

| \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} | \leq \frac{4}{y^{4}} \cdot | x - y | < \frac{4}{y^{4}} \cdot δ \leq \frac{4}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{4} \cdot ɛ = ɛ

für alle

x, y \in (0, 1]

mit

| x - y | < δ

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20:57 Uhr, 18.01.2017

Dankeschön :-)!

mihisu aktiv_icon

21:01 Uhr, 18.01.2017

Falls du dich wundern solltest:
Ich habe oben bei meiner Abschätzung verschrieben. Ich hatte in der Abschätzung aus Versehen

\frac{1}{x^{2}} \leq \frac{2}{y^{2}}

benutzt, obwohl ich davor korrekterweise geschrieben habe, dass

\frac{1}{x^{2}} \leq \frac{4}{y^{2}}

gilt.

Im Folgenden also nochmal die korrigierte Version:

Für alle

x, y \in (0, 1]

mit

| x - y | < \frac{y}{2}

ist

\frac{y}{2} < x

. Dann ist

\frac{1}{x^{2}} \leq \frac{4}{y^{2}}

und du kannst

| \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} |

= \frac{1}{x^{2} \cdot y^{2}} \cdot (x + y) \cdot | x - y |

\leq \frac{4}{y^{2} \cdot y^{2}} \cdot (x + y) \cdot | x - y |

\leq \frac{4}{y^{2} \cdot y^{2}} \cdot (1 + 1) \cdot | x - y |

= \frac{8}{y^{4}} \cdot | x - y |

abschätzen. Betrachte ein beliebiges

ɛ > 0

. Wählst du nun

δ = min {\frac{y^{4}}{8} \cdot ɛ, \frac{y}{2}},

so erhälst du die Abschätzung

| \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} | \leq \frac{8}{y^{4}} \cdot | x - y | < \frac{8}{y^{4}} \cdot δ \leq \frac{8}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{8} \cdot ɛ = ɛ

für alle

x, y \in (0, 1]

mit

| x - y | < δ

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22:15 Uhr, 18.01.2017

Oh stimmt. Danke für die Korrektur :-).

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09:50 Uhr, 19.01.2017

Okay habe doch noch eine Frage.

Wie kommst du auf

∣ x - y ∣ < \frac{y}{2}

?
Hätte man z.B. auch

∣ x - y ∣ < \frac{y}{3}

wählen und dann anders abschätzen können?

mihisu aktiv_icon

21:06 Uhr, 19.01.2017

| x - y | < \frac{y}{2}

habe ich angesetzt, damit das

x

von der Polstelle bei

x = 0

wegbleibt.

Ich hätte auch, wie du selbst schon geschrieben hast, beispielsweise

| x - y | < \frac{y}{3}

ansetzen können, damit

0 < \frac{2}{3} y < x

ist (Ich bleibe also von der Stelle

x = 0

weg, da ich ein

\frac{2}{3} y

dazwischengeschoben habe.) und ich

\frac{1}{x^{2}} \leq \frac{9}{4 y^{2}}

abschätzen kann.

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16:10 Uhr, 20.01.2017

Ah okay, danke :-).

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