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Taylorpolynome 3

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

 
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anonymous

anonymous

19:49 Uhr, 07.01.2010

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hallo leute

ich hab eine aufgabe die ich nicht richtig verstehe

sie lautet:

Man betrachte die Funktion f:(0,+1)R:xx+1x.

Man beweise, dass die Folge (Tn) der Taylorpolynome auf jedem
Intervall der Form [1,2δ] mit 0<δ<1 gleichmäßig gegen f konvergiert, auf dem Intervall (0,1) jedoch nur punktweise.

Insgesamt stimmt f also auf dem Intervall (0,2) mit seiner Taylorreihe überein.

ich hoffe mir kann jemand das erklären

grüß nana

und danke schonmal!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pakaKoni

pakaKoni aktiv_icon

17:55 Uhr, 08.01.2010

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Hallo

hast du denn schon die Taylorreihe gebildet? Um welchen Punkt willst du sie entwickeln. Ich würde 1 nehmen.
Wenn du das getan hast, musst du die punktweise konvergenz auf (0,2) nachrechnen, und auf [1,2) gleichmäßige Konvergenz beweisen.

Chiao
anonymous

anonymous

19:24 Uhr, 08.01.2010

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hallo

meinst du Tn(x)=k=0n1k!fk(x0)(x-x0)k=x+1x+1-1x2+k=2n(-1)k(x-1)k

mit Entwicklungspunkt x0=1

kannst du vielleicht mir helfen wie man die punktweise konvergenz auf (0,2) nachrechnen, und auf [1,2) gleichmäßige Konvergenz beweist.


ich hoffe du kannst mir helfen

Mfg nana
und danke!! jetzt schonmal

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pakaKoni

pakaKoni aktiv_icon

10:47 Uhr, 09.01.2010

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Hallo

Bei den ersten beiden Gliedern der Taylorentwiklung habe ich ein andres Ergebnis.
Wir entwickeln an der Stelle x0=1, dann ist f(x0)=x0+1x0=1+11=2
fʹ(x0)=1-x0-2=1-1=0
Dann hat die Taylorreihe bei x0=1 die Form:
2+k=2(-1)k(x-1)k

Kannst du das Lgrangesche Restglied benutzen? Das hat die Form:
Rn+1=fn+1(1+t(x-1))(n+1)!(x-1)n+1=(-1)n+11+t(x-1)(x-1)n+1
Da 1>(x-1)(x-1)n+10 für n geht auch das Restglied gegen 0, und damit konvergiert die Taylorreihe punktweise gegen f.

Wie man die gleichmäßige Konvergenz zeigt, muss ich noch mal nachdenken.

LG
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pakaKoni

pakaKoni aktiv_icon

11:58 Uhr, 09.01.2010

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Hallo

Es gibt folgenden Satz:
Für fn:M eine folge von Funktionen, mitfn konvergiert, dann Konvergiert die Reihe fn gleichmäßig.

Dabei ist - die Supremumsnorm auf M.

Nun ist für x[1,2-δ],x-11-δ<1fn=k=2(1-δ)k und die geometrische Reihe Konvergiert.
Also konvergiert die Taylorreihe auf [1,2-δ] gleichmäßig.

Mein Problem ist nur, wieso kann man das für x(0,1) nicht geauso machen?

Klar ist, dass supx-1=1 für x(0,1). Aber wieso der Trick mit den Delta hier nicht zulässig ist, bei [1,2) aber schon, ist mir einfach icht klar.


LG
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

11:41 Uhr, 11.01.2010

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danke dir !!!