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Teilbarkeitsaussagen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Teilbarkeit

anonymous

14:22 Uhr, 13.04.2011

Hallo,
komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter.
Zeige oder widerlege die Aussagen:
Für ganze Zahlen a, b und c gilt:
a) a teilt b*c daraus folgt a teilt b oder a teilt c
b) a teilt b und a teilt c, daraus folgt a^2 teilt (b*c)
c) a teilt b und a teilt c daraus folgt a teilt (3b+5c)
d) a teilt nicht b und a teilt c daraus folgt a teilt nicht (b+c)
e) a teilt nicht b und a teilt nicht c daraus folgt a teilt nicht (b+c)

ich weiß zwar, dass a teilt b auch durch a*n= b beschrieben werden kann. Nur weiß ich nicht, wie man weiterkommt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:58 Uhr, 13.04.2011

a) 6

teilt

3 \cdot 4 = 12

. Daraus folgt 6 teilt 3 oder 6 teilt 4. Ist falsch.

b)

a teilt

b

bedeutet:

b = n_{1} \cdot a

a teilt

c

bedeutet:

c = n_{2} \cdot a

Also ist

b \cdot c = n_{1} \cdot a \cdot n_{2} \cdot a = n_{1} \cdot n_{2} \cdot a^{2}

teilbar durch

a^{2}

. Aussage ist wahr

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15:03 Uhr, 13.04.2011

c)

Wie bei

b),

dann:

3 \cdot b + 5 \cdot c = 3 \cdot n_{1} \cdot a + 5 \cdot n_{2} \cdot a = a \cdot (3 \cdot n_{1} + 5 \cdot n_{2})

Die Klammer ergibt eine natürliche Zahl. Also ist die Aussage wahr.

anonymous

15:07 Uhr, 13.04.2011

zur a nochmal: Gegenbeispiel a= 12 b= 3 c =8 so ist 24 durch 12 teilbar. also ist n=2.
es gilt: entweder 3 durch 2 teilbar oder 8 durch 2 teilbar, was ja richtig ist.Oder irre ich mich?

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15:14 Uhr, 13.04.2011

d)

Hier ist

b = g \cdot a + r,

wobei

g \in {0,1,2,3, ...}

und

0 < r < a

(Rest bei Division)

und

c = n \cdot a

Dann ist

b + c = g \cdot a + r + n \cdot a = a \cdot (g + n) + r

Das ergibt bei Division durch a den Rest

r

. Aussage ist wahr.

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15:19 Uhr, 13.04.2011

a)

nochmal:

12

teilt

3 \cdot 8 = 24

. Daraus folgt aber nicht, dass

12

die 3 oder die 8 teilt.
In der Aussage wird das behauptet. Also ist die Aussage falsch.

Auf die Zahl

n = 2

kommt es nicht an.

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15:21 Uhr, 13.04.2011

e)

7 teilt nicht

10

und 7 teilt nicht

25

. Daraus folgt: 7 teilt nicht

10 + 25 = 35

.

Diese Aussage ist falsch.

GRUSS, DK2ZA

anonymous

16:10 Uhr, 13.04.2011

Danke bisher. Könntest du mir noch bei diesen aufgaben helfen?
f) Gebe eine natürliche Zahl n an, so dass (3^2) teilt n, (4^2) teilt n+1 und (5^2) teilt x+2 gilt
g) Gibt es eine natürliche Zahl n mit (2^2) teilt n, (3^2) teilt n+1 und (4^2) teilt n+2?
h)Zeige für a,b Element der ganzen Zahlen
7 teilt 10a+b äquivalent zu 7 teilt (a+5b)

zu f) Man kann ja dazu schreiben a * (3^2) = x, b*(4^2)=x+1 und c*(5^2)=x+2.
Nur wie soll es dann weitergehen?

zur a) so richtig habe ich das noch nicht verstanden, das zahlenbeispiel verdeutlicht doch, dass es stimmt.

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18:31 Uhr, 13.04.2011

Zur Aufgabe

a) :

Hier wird behauptet, dass aus a teilt

b \cdot c

immer folgt: a teilt

b

oder a teilt

c

.

Wenn wir Zahlen

a, b

und

c

so finden, dass zwar a teilt

b \cdot c

gilt, dass aber weder a teilt

b,

noch a teilt

c

gilt, dann haben wir die Behauptung widerlegt.

Also:

a = 6, b = 3, c = 4

Hier gilt: a teilt

b \cdot c,

aber weder a teilt

b

noch a teilt

c

.
Also ist die Behauptung von oben falsch.

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18:39 Uhr, 13.04.2011

Upps, die Aufgaben

f)

bis

h)

sind mir zu schwierig. Die solltest du hier getrennt noch einmal neu stellen.

Ich habe mittels eines kleinen Basic-Programms herausgefunden, dass es für Aufgabe

f)

folgende Lösungen gibt:

2223, 5823, 9423, 13023, 16623, 20223

usw...

Beachte die letzten zwei Ziffern! Ich weiss aber nicht, was man daraus schließen könnte.

GRUSS, DK2ZA

artur-s aktiv_icon

14:11 Uhr, 05.07.2013

Hi
Ich habe eine ähnlichen Beweis, den ich nicht richtig hinbekomme. Kann mir jemand helfen?

Also:

Zeigen Sie: für alle

a, b, c

€ lN

: b \cdot c | a

daraus folgt

b | a

und

c | a

michaL aktiv_icon

14:30 Uhr, 05.07.2013

Hallo,

die Teile f) und g) solltest du modulo

3^{2}

4^{2}

bzw

5^{2}

(bei g entsptechend) betrachten.
Bei f) ergibt sich:

x \equiv 0

mod 9

x \equiv - 1

mod 16

x \equiv - 2

mod 25

Darauf lässt du den chinesischen Restsatz los.
g) geht analog.

h) ist wieder recht einfach.
Multipliziere eine Gleichung wie

7 x = 10 a + b

mit 5.
Versuch die Details mal selbst.

Mfg Michael

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