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Textaufgabe - Maximum

Schüler

Tags: Pyramide, Quadratisch, Stangen, Zelt

Visocnik aktiv_icon

22:01 Uhr, 27.04.2013

Vier Stangen mit jeweils

3 m

Länge sollen das Gerüst eines Zeltes

-

in Form einer quadratischen Pyramide - bilden. Bei welcher Höhe ist das Zeltvolumen am größten und wie groß ist es in diesem Fall?

Bin mir da schon nicht ganz im Klaren: Ist das Zelt einem Würfel mit

a = 3 m

eingeschrieben oder aufgesetzt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Ma-Ma aktiv_icon

22:20 Uhr, 27.04.2013

1)

Skizze machen !

2)

Kann eine Pyramide ein Würfel sein ?

Hauptbedingung

: .

. ?
Nebenbedingung

: .

. ?

Hast Du einen Ansatz ?

Visocnik aktiv_icon

22:22 Uhr, 27.04.2013

Wahrscheinlich habe ich eine falsche Skizze gemacht. Würfel mit der Seitenkante

a = 3 m

(Stangen, die das Zelt stützen), dann hätte ich die Pyramide eingeschrieben gezeichnet.
Da habe ich einen Denkfehler. Dann wäre ja die Höhe der Pyramide auch

3 m

. Das stimmt sicher nicht!

rundblick aktiv_icon

22:27 Uhr, 27.04.2013

google

\to

quadratischen Pyramide

V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h

V (h) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (s^{2} - h^{2}) \cdot h

V (h) = \frac{2}{3} \cdot (9 \cdot h - h^{3})

wie findest du nun heraus, für welches

h

das Volumen extremal ist ?

\to . .

.

oh sehe gerade, Mama ist auch schon da und hilft

\to

also gute Nacht..

Ma-Ma aktiv_icon

22:37 Uhr, 27.04.2013

@rundblick: Bist hier gerne gesehen

...

. LG Ma-Ma

Visocnik aktiv_icon

22:40 Uhr, 27.04.2013

Zuerst einmal vielen Dank rundblick für deine Hilfe.

Ich hätte als Hauptbedingung auch

V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h

Als Nebenbedingung:

s^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = h^{2}

Habe ich eine falsche Nebenbedingung aufgestellt?

Wie kommt man auf

\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (s^{2} - h^{2}) \cdot h

und weiter auf

\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot h - \frac{2}{3} \cdot h^{3}

Wer hilft mir weiter?

Würde ich dann weiterrechnen:

v (h) = \frac{2}{3} \cdot (9 h - h^{3})

Maximum

9 - 3 h^{2} = 0

h = \sqrt{3}

?????

rundblick aktiv_icon

22:56 Uhr, 27.04.2013

NUR NOCH GANZ KURZ:

"Habe ich eine falsche Nebenbedingung aufgestellt?"

\to

JA

"

9 - 3 h^{2} = 0

h =

dritte Wurzel aus 3
"

< -

WIESO DRITTE Wurzel ??

hm .. und wo bleibt denn Mama ?

Visocnik aktiv_icon

22:58 Uhr, 27.04.2013

Habe die dritte Wurzel korrigiert. Ist eben schon sehr spät! Ist aber keine Entschuldigung, das weiß ich. Danke für den Hinweis.
Als Nebenbedingung hätte ich:

s^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}

daraus:

a^{2} = 4 \cdot (s^{2} - h^{2})

Warum hast du in die Volumsformel für

a^{2}

den Ausdruck

a^{2} = 2 \cdot (s^{2} - h^{2})

eingesetzt?
Wer kann mir weiterhelfen?

Ma-Ma aktiv_icon

23:35 Uhr, 27.04.2013

Hallo Visocnik, brauchst Dicht nicht zu entschuldigen. Ja, es ist sehr spät

. .

1)

Deine Hauptbedingung stimmt.

2)

Die Skizze einer quadratischen Pyramide sollte Dir gelingen.
Zeichne unbedingt die Diagonalen ein !

Kannst Du Deine Skizze hier hochladen ?

Visocnik aktiv_icon

23:44 Uhr, 27.04.2013

Ja - ich bin inzwischen drauf gekommen, dass ich mit dem Dreieck

\frac{d}{2}, s

und

h

rechnen muss.
Also ist

a^{2} = 2 s^{2} - 2 h^{2}

Es ist jetzt klar geworden. Stimmt das Ergebnis

h = \sqrt{3}

???
Habe ich da richtig weitergerechnet?

Dann könnte das Volumen

V = 48 \cdot \sqrt{3}

sein???

Ma-Ma aktiv_icon

00:01 Uhr, 28.04.2013

Ich weiß nicht, wo rundblick seine Formel her hat.

Ich stimme mit Dir überein, dass wir das Dreieck

\frac{d}{2}

(halbe Diagonale),

s

und

h

betrachten müssen.

s = 3 m

(fest vorgegeben)

d = a \cdot \sqrt{2}

\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{2}

Somit gilt:

s^{2} = h^{2} \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2} \sqrt{2})}^{2}

s^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \cdot 2

s^{2} = h^{2} + 2 a^{2}

Nun umstellen nach

a

Visocnik aktiv_icon

07:21 Uhr, 28.04.2013

Lieber MaMa!
Zuerst danke für die Antwort noch zu so später Stunde. Ist dir da in der vorletzten auf die letzte Zeile nicht ein Fehler unterlaufen?

{(\frac{a \cdot \sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}

Also:

s^{2} = \frac{a^{2}}{2} + h^{2}

Gesamt Gleichung mal

2!

2 s^{2} = a^{2} + 2 h^{2}

a^{2} = 2 s^{2} - 2 h^{2}

Dies nun in die Volumsformel einsetzen!

V (h) = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h

V (h) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (s^{2} - h^{2}) \cdot h

s = 3

(Stange)
daher:

V (h) = \frac{2}{3} \cdot (9 h - h^{3})

und dies soll ein Max. werden. Nun hätte ich differenziert:

9 - 3 h^{2} = 0

3 = h^{2}

h = \sqrt{3}

NB:

s^{2} - h^{2} = \frac{a^{2}}{2}

Daraus

a = \sqrt{12}

V max = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}

Stimmt dieses Ergebnis?

rundblick aktiv_icon

09:47 Uhr, 28.04.2013

"Stimmt dieses Ergebnis?"

\to

JA

.. im Unterschied zu MaMa's leider am Schluss falscher Rechnung (oben für

a^{2})

\to

hast du jetzt alles richtig gemacht ..

Visocnik aktiv_icon

11:26 Uhr, 28.04.2013

Ich bedanke mich ganz herziche bei allen, die mir dabei geholfen haben. War eine ziemlich lange Prozedur. Aber jetzt ist die Aufgabe gelöst. Nochmals vielen Dank für die Hilfestellung.

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