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Vereinfachen / Zeigen dass Ungleichung hält

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Beweis, Ungleichung

Sappsallap aktiv_icon

22:38 Uhr, 08.10.2012

Hallo,

ich wäre super dankbar, wenn mir jemand mit meinem Problem weiterhelfen könnte:

Ich möchte zeigen, dass die folgende Ungleichung hält. Dabei ist p eine Wahrscheinlichkeit mit p>0 (und p+(1-p)=1) und es gilt y>x und y,x >0. Kann mir da jemand weiterhelfen?
$p * y * \log (y) + (1 - p) * x * \log (x) > p * y * \log ((1 - p) * x + p * y) + (1 - p) * x * \log ((1 - p) * x + p * y)$

Bislang bin ich soweit gekommen, aber hier war dann leider Schluss für mich :-(

$p * y * \log (\frac{y}{(1 - p) * x + p * y}) > (1 - p) * x * \log (\frac{(1 - p) * x + p * y}{x})$

Vielen vielen Dank für jede Antwort!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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McMannus aktiv_icon

09:40 Uhr, 09.10.2012

Ist

p

deine Zielgröße nach der du auflösen möchtest?

Sappsallap aktiv_icon

09:56 Uhr, 09.10.2012

Erst mal Danke für's angucken!

Ich habe eigentlich keine Zielgröße - die Ungleichung ist der letzte Teil eines Beweises --> Ich würde nur gerne die Gleichung so weit vereinfachen, dass einigermaßen gut ersichtlich ist, dass sie für y>x und p>0 immer gelten muss. Leider scheinen meine Mathe-Fähigkeiten dafür nicht auszureichen.

Es wäre super, wenn du vlt noch mal einen Blick darauf werfen könntest.

Danke + Gruß

pwmeyer aktiv_icon

09:57 Uhr, 09.10.2012

Hallo,

ist bie Deiner Ausgangsungleichung auf der linken Seite im zweiten Summanden ein

y

zuviel?

Sieht die Ungleichung dann nicht so aus, wie die Eigenschaft, dass die Funktion

x \to x \cdot log (x)

konvex ist?

Gruß pwm

Sappsallap aktiv_icon

10:09 Uhr, 09.10.2012

Hi pwm,

mist, ja, du hast recht. Da war ein y zu viel in der Ausgagnsgleichung. Sorry!

Danke für den Hinweis !!

Den zweiten Teil deiner Antwort verstehe ich leider nicht so ganz; vermutlich weil mir der Zusammenhang nicht klar ist. Ich - als Nicht-Mathematiker - hätte gedacht der Logarithmus sei immer streng konkav. Kann man denn damit irgendwie zeigen, dass die Ungleichung gilt!?

Edddi aktiv_icon

10:44 Uhr, 09.10.2012

. .

. ohne das

y

sieht's schon besser aus. Vielleicht so?:

p \cdot y \cdot log (y) + (1 - p) \cdot x \cdot log (x) > p \cdot y \cdot log ((1 - p) \cdot x + p \cdot y) + (1 - p) \cdot x \cdot log ((1 - p) \cdot x + p \cdot y)

10^{p \cdot y \cdot log (y)} \cdot 10^{(1 - p) \cdot x \cdot log (x)} > 10^{p \cdot y \cdot log ((1 - p) \cdot x + p \cdot y)} \cdot 10^{(1 - p) \cdot x \cdot log ((1 - p) \cdot x + p \cdot y)}

y^{p \cdot y} \cdot x^{(1 - p) \cdot x} > {((1 - p) \cdot x + p \cdot y)}^{p \cdot y} \cdot {((1 - p) \cdot x + p \cdot y)}^{(1 - p) \cdot x}

1 > {((1 - p) + p \cdot \frac{y}{x})}^{(1 - p) \cdot x} \cdot {((1 - p) \cdot \frac{x}{y} + p)}^{p \cdot y}

nun sollte ja wegen

((1 - p) + p) = 1

und

\frac{x}{y} < 1

der Ausdruck

((1 - p) \cdot \frac{x}{y} + p) < 1

und somit auch

{((1 - p) \cdot \frac{x}{y} + p)}^{p \cdot y} < 1

wenn man nun noch zeigen könnte, dass

{((1 - p) + p \cdot \frac{y}{x})}^{(1 - p) \cdot x} \leq 1,

dann wäre die Ungleichung erfüllt.

...dies wäre auf die Schnelle mein Ansatz, obwohl auch bei

{((1 - p) + p \cdot \frac{y}{x})}^{(1 - p) \cdot x} > 1

die Ungleichung erfüllt sein könnte für ein entsprechend kleines

{((1 - p) \cdot \frac{x}{y} + p)}^{p \cdot y}

.

;-)

Edddi aktiv_icon

10:53 Uhr, 09.10.2012

. .

. der schnelle Ansatz wird nix, da:

{((1 - p) + p \cdot \frac{y}{x})}^{(1 - p) \cdot x} \leq 1

(1 - p) + p \cdot \frac{y}{x} \leq 1

- p + p \cdot \frac{y}{x} \leq 0

p \cdot (\frac{y}{x} - 1) \leq 0

nur für

y \leq 2 \cdot x

(x

positiv) funzt.

;-)

pwmeyer aktiv_icon

11:06 Uhr, 09.10.2012

Hallo,

ja,

log (x)

ist konkav, aber

f (x) = x \cdot log (x)

ist konvex. Also gilt:

f (p \cdot a + (1 - p) \cdot b) = [p \cdot a + (1 - p \cdot b)] \cdot log (p \cdot a + (1 - p) \cdot b) \leq p \cdot a \cdot log (a) + (1 - p) \cdot b \cdot log (b)

Gruß pwm

Sappsallap aktiv_icon

09:00 Uhr, 11.10.2012

Wow, Danke! Auf den Trichter mit der Konvexität wäre ich natürlich nie gekommen!!

Nur noch die letzte kleine Frage, bevor ich es komplett als beantwortet markieren kann: Ich kann doch nun auch für $p \in (0, 1)$ und $x \neq y$ von strikter Konvexität und damit von Gültigkeit der strikten Ungleichung ausgehen, oder?

pwmeyer aktiv_icon

11:06 Uhr, 11.10.2012

Ja, denke ich auch.

Gruß pwm

Sappsallap aktiv_icon

09:51 Uhr, 12.10.2012

Ok, vielen Dank ! ! ! Alleine hätte ich das nicht hinbekommen.

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