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Vollständige Induktion

Schüler

Tags: Beweis, Vollständig Induktion

anonymous

13:17 Uhr, 09.01.2011

Hallo,

ich stecke mal wieder fest und hoffe auf unterstützung von euch.
Ausgangslage ist folgende Behauptung.

a_{n} = n^{3} - n

ist durch 6 teilbar

Induktionsanfang
Ich will nun zeigen, dass diese Behauptung für jedes Folgengleid

n + 1

stimmt.

a_{1} = 1^{3} - 1 = 0

die 0 ist durch 6 teilbar.

a_{n + 1} = {(n + 1)}^{3} - (n + 1)

a_{n + 1} = (n^{3} - 1 n) + 3 n (n + 1)

a_{n + 1} = a_{n} + 3 n (n + 1)

Ich weiß jetzt absolut nicht, wie ich weiter machen soll. Ich hoffe jemand kann helfen.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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13:22 Uhr, 09.01.2011

{(n + 1)}^{3} - (n + 1) = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n - 1 = n^{3} - n + 3 n^{2} + 3 n

n^{3} - n

ist nach Induktionsannahme durch 6 teilbar also musst du nur noch zeigen, dass

3 n^{2} + 3 n

durch 6 teilbar ist und das sollte nicht all zu schwierig sein.

anonymous

13:24 Uhr, 09.01.2011

Ja, dass dachte ich mir. Aber wie zeigt man das denn?

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13:26 Uhr, 09.01.2011

3 n^{2} + 3 n = 3 n (n + 1)

Jetzt denk mal scharf darüber nach, ob

n (n + 1)

durch 2 teilbar ist.

Gruß Shipwater

anonymous

13:30 Uhr, 09.01.2011

Also,

\frac{n (n + 1)}{2}

Ist nicht weiter teilbar?!

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13:33 Uhr, 09.01.2011

Das hast du jetzt falsch aufgefasst. Ich meinte du sollst dir überlegen, ob der Ausdruck "

n (n + 1)

" durch die Zahl 2 teilbar ist. Nicht ob

\frac{n (n + 1)}{2}

teilbar ist. :-)

anonymous

13:35 Uhr, 09.01.2011

Ich verstehe nicht so richtig was du meinst?

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13:37 Uhr, 09.01.2011

n (n + 1)

ist das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen. Das heißt, dass entweder

n

oder

n + 1

gerade ist. Und demnach muss das Produkt

n (n + 1)

gerade und somit durch 2 teilbar sein...

anonymous

13:39 Uhr, 09.01.2011

Ahja,

Also ist

n (n + 1)

durch 2 teilbar.
Wie geht es denn nun weiter?

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13:40 Uhr, 09.01.2011

Na wenn

n (n + 1)

zwingend durch 2 teilbar ist, durch was ist dann

3 n (n + 1)

zwingend teilbar..?

anonymous

13:43 Uhr, 09.01.2011

Durch 6?

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13:43 Uhr, 09.01.2011

Richtig und somit ist der Beweis abgeschlossen. Du hättest es auch so machen können:

3 n (n + 1) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

und

\frac{n (n + 1)}{2}

ist nach Gauß ja

\forall n \in ℕ

immer eine natürliche Zahl also muss dieses Produkt durch

3 \cdot 2 = 6

teilbar sein.

anonymous

13:44 Uhr, 09.01.2011

Irgendwie kompliziert wie man von der einen auf die andere sache schließt...

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13:47 Uhr, 09.01.2011

10 = 5 \cdot 2

ist durch 2 teilbar also ist

3 \cdot 10 = 3 \cdot 5 \cdot 2

durch

3 \cdot 2 = 6

teilbar. Ist doch ganz logisch.

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