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Vollständige Induktion (Ansatz)

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Induktion

SakuTen

18:53 Uhr, 27.01.2012

Ich soll mit Hilfe vollständiger Induktion beweisen,
dass

n 2^{n^{2}} > 10^{n}

\forall n \in ℕ, n \geq 3

Der Induktionsanfang hat gepasst, und die Annahme ist ja:

(n + 1) 2^{{(n + 1)}^{2}} > 10^{n + 1}

Leider hab ich länger nicht mit Exponeten gerechnet und finde einfach keinen Ansatz, der mir irgendwie weiterhilft.
Mir fehlt der richtige Denkanstoß, einfach in Richtung: Mach mal dies und das und schau dann weiter.

Vielleicht hat jemand von euch einen Hinweis.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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prodomo aktiv_icon

18:58 Uhr, 27.01.2012

Auf jeden Fall empfiehlt sich, die

10^{n + 1} \in 2^{n + 1}

und

5^{n + 1}

zu zerlegen und dann beidseitig durch

2^{n + 1}

zu teilen.

SakuTen

19:31 Uhr, 27.01.2012

Dann hätte ich

(n + 1) \cdot 2^{n + 1} > 5^{n + 1}

Jetzt hab ich überlegt, ob es sinnvoll ist den Exponeten links zu splitten.
Also nach dem Motto

(n + 1) \cdot 2^{n} \cdot 2

dann könnte ich zu

(2 n + 2) \cdot 2^{n} > 5^{n + 1}

umformen, aber irgendwie ist das völlig daneben glaube ich.

Also hatte ich überlegt von

(n + 1) \cdot 2^{n + 1} > 5^{n + 1}

aus nochmal durch

2^{n + 1}

zu dividieren.

Dann käme ich auf

(n + 1) > {(\frac{5}{2})}^{n + 1}

aber auch das scheint mir nicht richtig. Irgendwie häng ich einfach fest, trotz dem guten Rat von prodomo.
(Danke übrigens dafür.)

pwmeyer aktiv_icon

19:52 Uhr, 27.01.2012

Hallo,

die Induktionsannahme ist:

10^{n} < n \cdot 2^{n^{2}}

Dann kann man schließen:

10^{n + 1} = 10 \cdot 10^{n} < 10 \cdot n \cdot 2^{n^{2}} = [10 \cdot \frac{n}{n + 1} \cdot 2^{- 2 \cdot n - 1}] \cdot (n + 1) \cdot 2^{{(n + 1)}^{2}}

Jetzt muss man sich noch um den Faktor in

[]

kümmern, ist der kleiner als 1?

Gruß pwm

SakuTen

00:04 Uhr, 28.01.2012

n 2^{n^{2}} > 10^{n}

Ich hab das jetzt irgendwie anders gemacht und bin wie folgt vorgegangen:

(n + 1) 2^{{(n + 1)}^{2}} > 10^{n + 1}

(n + 1) 2^{n^{2} + 2 n + 2} > 10^{n + 1}

(n + 1) 2^{n^{2}} \cdot 2^{2 n + 2} > 10^{n + 1}

(n 2^{n^{2}} + 2^{n^{2}}) \cdot 2^{2 n + 2} > 10^{n + 1}

Dann kann ich ja für

n 2^{n^{2}}

auch

10^{n}

schreiben, weil es im Induktionsanfang ja bewiesen war.

(10^{n} + 2^{n^{2}}) \cdot 2^{2 n + 2} > 10^{n + 1}

Aber da hängt es dann jetzt leider auch.
Hoffentlich hab ich mich nicht zu sehr verrannt.

hagman aktiv_icon

09:42 Uhr, 28.01.2012

Der Faktor nach der Klammer ist mehr oder weniger offensichtlich

> 10

SakuTen

12:26 Uhr, 28.01.2012

Aber reicht das als Beweis aus?
Es erscheint mir als Aussage noch so unklar, bzw. einfach zu groß und unübersichtlich.
Andererseits sehe ich persönlich anhand meiner letzten Zeile selbst ja das es größer sein muss, ganz offensichtlich so gar.

Ich fürchte nur, dass es anders klarer wäre.

hagman aktiv_icon

13:32 Uhr, 28.01.2012

Der wesentliche Beweisschritt ist einfach, dass aus

n \cdot 2^{n^{2}} > 10^{n}

und

n \geq 3

schon bei recht grober Abschätzung das Gewünschte folgt (wobei noch benutzt wird, dass alle auftretenden Faktoren positiv sind):

(n + 1) \cdot 2^{{(n + 1)}^{2}} = (n + 1) \cdot 2^{n^{2} + 2 n + 1} = (n + 1) \cdot 2^{n^{2}} \cdot 2^{2 n + 1} > n \cdot 2^{n^{2}} \cdot 2^{7} > 10^{n} \cdot 10 = 10^{n + 1}

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