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Volumen berechnen

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Integration

Tags: Integration

anonymous

12:43 Uhr, 16.06.2014

Hallo,

berechnen Sie das Volumen des kleineren der beiden Köper, die von x²+y²+z²=16
und x²+y²=z² begrenzt werden.

Also wenn ich das aufzeichne, bekomme ich einen Kreis und einen Kegel nach oben und unten. Ich soll dann glaub ich das Volumen des Kegels berechnen, oder?

Wenn ich das mache, würde ich so vorgehen:
Zuerst Integral von

- \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}

bis

\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}

nach

d z

Und was da raus kommt, würde ich dann durch Polarkoordinaten nach

r

und nach

φ

integrieren, wobei ich bei

φ

von 0 bis

2 Π

gehe und

r

von 0 bis 4. Stimmt das so oder wäre das falsch wie ich es machen würde?

Lg und danke :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

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13:11 Uhr, 16.06.2014

Hallo,

wenn ich Deine Worte richtige verstehe, berechnest Du doch das Volumen der ganzen Kugel? Wo geht der Kegel ein?

Gruß pwm

anonymous

16:37 Uhr, 16.06.2014

Aja, stimmt danke. Bin leider grade noch dabei das Ganze zu üben und blick noch nicht so durch...
Um nur den Kegel zu berechnen muss ich

r

anders wählen? In Abhängigkeit von z?

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17:16 Uhr, 16.06.2014

Hallo,

hast Du Dir sschon eine Skizze gemacht. Da beide Körper rotationssysmmetrisch um die z-Achse sind, kann man eine Skizze in der Ebene

y = 0

machen. Dann musst Du Dich entscheiden, für welchen der beiden Körper Du das Volumen berechnen willst.

Du sprichst in Deiner Frage von

r

. Was soll das sein - Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten?

Gruß pwm

anonymous

18:15 Uhr, 16.06.2014

Hallo,

mit dem

r

meine ich Zylinderkoordinaten, aber da die

z

Achse eh genau dort ist, wo der Ursprung ist, ist das egal, oder?

Kann ich das ganze auch in

3 D

berechnen oder nur indem ich die

x, z

Ebene betrachte?

Mfg, danke :-)

Ruetli

21:44 Uhr, 16.06.2014

Ohne eine vernünftige Vorstellung, wie der von den beiden Flächen festgelegte Körper aussieht (Skizze!)
brauchst du gar nicht erst anfangen mit parametrisieren und integrieren.

Bisher sieht es ziemlich wirr aus. Auch beim letzten Statement.
Wie liegen die Kegel, wie die Kugel, was wird wie begrenzt?

Stell doch einfach mal eine grobe

3 D

Hand-Skizze mit

x

,y,z-Achse rein, die zeigt dass du dir überhaupt eine Vorstellung von dem Ding gemacht hast.
Dann können wir über die Parametrisierung reden.
Vorher macht das überhaupt keinen Sinn, dass ind sonst Schüsse ins Blaue!

Noch ein Tipp:
Du kennst den Körper , man schleckt gerne dran, besonders im Sommer. :-))

anonymous

08:10 Uhr, 17.06.2014

Also meine Skizze schaut so aus, hoff, dass das auch stimmt ..

Lg

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09:35 Uhr, 17.06.2014

Hallo,

und welcher Körper soll es sein, sagen wir der Kegel - also das gelbe in Deiner Skizze - und davon den oberen Kegel.

jetzt musst Du diesen Körper parametrisieren. In welchem Gebiet der Ebene liegen die

x

,y-Koordinaten und in welchem Bereich (abhängig von

x, y)

liegt dann die z-Koordinate?

Gruß pwm

anonymous

09:54 Uhr, 17.06.2014

Hallo, danke nochmal für deine Hilfe. Mit dem Parametrisieren habe ich immer Probleme

: (

Ich hätte gemeint, dass

z

von 0 bis

\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}

geht (wenn man nur den oberen Kegeln betrachtet). Weil für

z

kann ich ja die Gleichung der Kugel nutzen, oder? Geht ja genau bis zur gleichen Höhe..

Und

x

und

y

kann ich eben irgendwie nicht parametrisieren. Ich hab ja eigentlich nur den Radius der Kugel aber das bringt mir ja jetzt nix.. Vom Kegel hab ich ja nur die Gleichung. Oder kann ich, wenn ich es in

2 D

anschaue und

y

null setze die Gleichung umformen auf

x = \sqrt{z}

?

Liebe Grüße, danke für die Geduld ;-)

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13:25 Uhr, 17.06.2014

Hallo,

ein Problem ist, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt. Ich würde so etwas ansetzen:

x^{2} + y^{2} \leq α^{2}

und

h (x, y) \leq z \leq \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}

Wie groß kann

α

höchstens sein?

d . h

. Welche

x, y

liegen unter dem Kegel?

Gruß pwm

anonymous

14:19 Uhr, 17.06.2014

α

kann höchstens 4 sein, oder?

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14:22 Uhr, 17.06.2014

Wenn

α = 4

und

x^{2} + y^{2} = α^{2},

was könnte dann

z

sein?

Gruß pwm

anonymous

14:35 Uhr, 17.06.2014

z

kann dann auch höchstens 4 sein ?
Sorry, wenns falsch is ich bin jetzt schon etwas verwirrt..

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16:41 Uhr, 17.06.2014

Hallo,

wenn wir Zylinderkoordinaten nehmen, also

x = r \cdot cos (t)

und

y = r \cdot sin (t)

dann ist die Gleichung für den Kegelmantel

r^{2} = z^{2},

also für den oberen Teil

r = z,

das Innere (obere) des Kegels ist

z \geq r

(vgl. Deine Skizze). Der Körper soll aber in der Kugel liegen, also von der Kugeloberfläche gedeckelt werden:

r^{2} + z^{2} \leq 16

. Das liefert zusammen:

r \leq z \leq \sqrt{16 - r^{2}}

Das geht aber nur, wenn

r \leq \sqrt{16 - r^{2}} \Leftrightarrow 2 \cdot r^{2} \leq 16 \Leftrightarrow r \leq \sqrt{8}

Damit ist die Parametrisierung:

t \in [0,2 \cdot π]

r \in [0, \sqrt{8}]

z \in [r, \sqrt{16 - r^{2}}]

anonymous

17:19 Uhr, 18.06.2014

Hallo,

danke. Auf das wöre ich nie gekommen, immer diese blöde Parametrisierung. Habe jetzt noch eine letzte Frage; kann ich auch trotzdem
von 0 bis

\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}} z

integrieren und dann mit der parametrisierung und polarkoordinaten weiter machen?

Also Integral

\int_{0}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} d z = \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}

Und dann Integral

\int_{0}^{\sqrt{8}} \int_{0}^{2 Π} \sqrt{16 - r^{2}} \cdot r d φ

dr

Wäre das so in Ordnung?

Liebe Grüße und danke

pwmeyer aktiv_icon

18:22 Uhr, 18.06.2014

Hallo,

das geht nicht - ich glaube, Du solltest Deine Fragen mal vor Ort im Gespräch dirket klären.

Gruß pwm

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