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Wachstumsfunktion bestimmen.

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Beschränktes Wachstum, Wachstumsfunktion

Freddy123 aktiv_icon

17:58 Uhr, 09.07.2017

Folgende Aufgabe macht mir Kopfzerbrechen:

In einem Land von

80

Millionen Einwohnern wandern im Schnitt jährlich

200.000

Personen ein, während

50.000

Personen auswandern. Auf

1000

Einwohner des Landes kommen im Jahr 8 Geburten und

11

Todesfälle.

a)

Berechnen Sie die Einwohnerzahl

Z (t)

des Landes nach

t = 1, t = 2

und

t = 3

Jahren.

b)

Geben Sie an, wie sich

Z (t + 1)

aus

Z (t)

berechnen lässt. Zeigen Sie, dass es sich um ein beschränktes Wachstum handelt, indem Sie die Sättigungsgrenze

S

und den Änderungsfaktor

k

bestimmen.

c)

Geben Sie die Wachstumsfunktion

Z (t)

explizit an.

Bisher habe ich nur herausbekommen:

Der Zuwachs durch Ein- und Auswanderung beträgt

150.000

Personen.
Setzt man

Z (0) := 80 \cdot 10^{6},

so errechnet sich die Differenz aus Geburten und Todesfällen insgesamt mit

- 0,003 \cdot Z (0)

.

Und wie geht es weiter?
Wer macht mit?

Freddy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

18:55 Uhr, 09.07.2017

Hallo
und warum errechnest du damit nicht

z (1), z (2)

und

z (3)

?
entsprechend wie kommt man von

t

nach

t + 1

?
wenn du das hast kennst du eigentlich

Z' (t)

Gruß ledum

Freddy123 aktiv_icon

12:14 Uhr, 10.07.2017

Hallo ledum,

z (1) = z (0) + 150000 - 0,003 \cdot z (0)

und entsprechend müsste gelten

z (t + 1) = z (t) + 150000 - 0,003 \cdot z (t)

.
Somit:

z (1) = 79775000, z (2) = 79550675, z (3) = 79730809

.

Wieso habe ich jetzt

z' (t)

und warum der Umweg über die Ableitung ?

Freddy

oculus aktiv_icon

14:07 Uhr, 10.07.2017

Hallo,

der "Umweg" über die Ableitung

z' (t)

ist für den Aufgabenteil

b)

wenig hilfreich.
Besser, du orientierst dich an der Definition des beschränkten Wachsens (bzw. der beschränkten Abnahme):
"Ein Wachstum heißt beschränkt mit der Schranke

S,

wenn die Änderungsrate

B (t + 1) - B (t)

proportional zum Restbestand

S - B (t)

ist",

d . h

wenn es ein

k \in ℝ

gibt, so dass gilt

B (t + 1) - B (t) = k \cdot (S - B (t))

.

Bringe die von dir ermittelten Gleichung auf diese Form und du kannst den Änderungsfaktor

k

und die Schranke

S

ablesen.

oculus

Freddy123 aktiv_icon

16:21 Uhr, 10.07.2017

Danke, oculus, für den Tipp. Aber ist das wirklich so einfach ??

z (t + 1) - z (t) = 150000 - 0,003 \cdot z (t) = 0,003 \cdot (\frac{150000}{0,003} - z (t))

\Rightarrow S = 50 \cdot 10^{6}

und

k = 0,003

- -

Ich möchte jetzt mit ledum's Hinweis über

z' (t)

weitermachen, wenn ich auch noch nicht kapiert habe, wieso aus

z (t + 1) = 150000 + (1 - 0,003) \cdot z (t) = 150000 + 0,997 \cdot z (t)

folgen soll, dass auch

z' (t) = 150000 + 0,997 \cdot z (t)

ist.
Oder habe ich hier was falsch verstanden?
Für mich nahelegender wäre eigentlich, den Differenzenquotienten

\frac{z (t + 1) - z (t)}{1}

mit

z' (t)

gleichzusetzen, obwohl das doch eigentlich erst gerechtfertigt wäre für den Grenzwert

\frac{z (t + h) - z (t)}{h}

bei

h \to 0

.

Freddy

oculus aktiv_icon

14:33 Uhr, 13.07.2017

" .aber ist das wirklich so einfach? "

Um die Funktion

z (t)

zu bestimmen, muss ich meinen ersten Eintrag etwas hinzufügen:
Das beschränkte Wachstums ist ja, wie auch das logistische Wachstum, ein Nebenprodukt des exponentionellen Wachstums. Die darauf fußende Definition lautet:
Eine Größe

B (t)

ändert sich beschränkt mit der Sättigungsgrenze

S \in ℝ,

wenn das Sättingungsmanko

S

–

B (t)

exponentionell abnimmt,

d . h

. wenn gilt

S

–

B (t) = [S

–

B (0)] \cdot (1

–

k)^{t},

also

B (t) = S - (S - B (0) \cdot {(1 - k)}^{t}, 0 < k < 1

Die in meinem ersten Beitrag genannte Definition kannst du daraus mit ein bisschen Rechnerei folgern. Da dir bei deiner Funktion

z (t)

k = 0,003

und

S = 50 \cdot 10^{6}

bekannt sind, ist mit

z (0) = 80 \cdot 10^{6}

dann die gesuchte Funktion

z (t) = 50 \cdot 10^{6} + {0,997}^{t} \cdot 30 \cdot 10^{6}

.

Noch Fragen?

oculus

Freddy123 aktiv_icon

17:55 Uhr, 14.07.2017

Danke, oculus, für deine Antworten.

Obwohl ich mich bemüht habe, aus deiner Definition 2 die Definition 1 herzuleiten, ist mir das nicht gelungen.
Außerdem habe ich noch immer nicht verstanden, welche Rolle die 1. Ableitung spielt.

Freddy

oculus aktiv_icon

17:34 Uhr, 16.07.2017

Hallo Freddy,

Ausgangspunkt sei also Definition 2:

B (t) = S

–

(S

–

B (0)) \cdot {(1 - k)}^{t}

\Leftrightarrow (S

–

B (0)) \cdot {(1 - k)}^{t} = S

–

B (t) - - (1) - -

\Rightarrow B (t + 1)

–

B (t) = - (S

–

B (0) \cdot (1

–

k)^{t + 1} + (S

–

B (0))^{k}

= (S - B (0)) \cdot (1 - k) 1 t \cdot k = (S

–

B (t)) \cdot k

\Rightarrow B (t + 1)

–

B (t) = k \cdot (S

–

B (t))

wegen

- - (1) - -

Das aber ist die Definition 1.

Ferner, zu deiner zweiten Frage:
B‘(t)

= - ln (1 - k) \cdot [(S

–

B (0)) \cdot (1

–

k)^{t}] = - ln (1 - k) \cdot (S

–

B (t))

Die erste Ableitung B’(t)

:= lim_{h \to 0} \frac{B (t + h) - B (t)}{h}

unterscheidet sich also vom Differenzenquotienten

\frac{B (t + 1) - B (t)}{1}

nur durch den Faktor vor dem Ausdruck

S

–

B (t)

.
Die Proportionalität zum Sättigungsmanko ist also in beiden Fällen gegeben.
Und während

B' (t)

die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt

t

ist, handelt es sich bei

\frac{B (t + 1) - B (t)}{1}

um die Wachstums-Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall

(t, t + 1)

.

oculus

Freddy123 aktiv_icon

15:05 Uhr, 17.07.2017

Danke für deine ausführliche Antwort, für die ich zum vollen Verstehen noch eine Zeit brauche.

Bis dahin,

Freddy

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