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Wurzel im Nenner

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Sonstiges

Tags: Brüche, Sonstiges, Wurzel

jiji1 aktiv_icon

20:45 Uhr, 24.02.2012

Hallo,

wollte euch fragen wie ich das vereinfachen kann:
hab folgendes Ergebnis einer Aufgabe raus

\frac{6}{\sqrt{3}}

wie muss man vorgehen damit ich das auf

2 \sqrt{3}

vereinfachen kann

also Praktisch

\frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}

angenommen ich hätte die Zahl

\frac{24}{\sqrt{8}}

raus, wie wäre dann das Ergebnis wenn ich es vereinfachen müsste?

Kann mir da jemand vllt die einzelnen Schritte erklären?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

dapso aktiv_icon

20:47 Uhr, 24.02.2012

Hallo
Erweiter

\frac{6}{\sqrt{3}}

mit

\sqrt{3}

MrBlum aktiv_icon

10:11 Uhr, 25.02.2012

Hallo,

\frac{24}{\sqrt{8}}

Es geht immer um dasselbe, man erweitert mit jener Wurzel, die die Wurzel im Nenner aufhebt. Bei deinem Beispiel genügt die Quadratwurzel von 8.

\frac{24 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = \frac{24 \cdot \sqrt{8}}{8} = 3 \cdot \sqrt{8}

Du kannst noch weiter vereinfachen mit:

3 \cdot \sqrt{8} = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot \sqrt{2}

Etwas anders sieht es allerdings hier aus:

\frac{2}{\sqrt[3]{8}}

Der Exponent der Wurzel bleibt gleich°, aber es reicht nicht, einmal mit der dritten Wurzel zu erweitern, weil das nur ist:

\frac{2 \cdot \sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{8^{2}}}

Wir brauchen für die Erweiterung einen Exponenten für den Radikanden, der (zusammen mit dem bereits vorhandenen, hier eins) dem Wurzelexponenten entspricht.

Also:

\frac{2 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}}{\sqrt[3]{8^{1}} \cdot \sqrt[3]{8^{2}}}

Weil:

\frac{2 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}}{\sqrt[3]{8^{1}} \cdot \sqrt[3]{8^{2}}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}}{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{8^{2}}}{\sqrt[3]{8^{3}}}

Weiter verfährst du dann analog zu oben. Probier doch dieses Beispiel selbst.

...

.
Zu Exponent der Wurzel bleibt gleich°:
Wie würde man

3^{\frac{1}{3}}

zu 3 machen?

3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 3^{1}

...

.

LG, Thomas

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