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beweis nullfunktion

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Tags: Funktion, Integration

 
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anonymous

anonymous

15:50 Uhr, 30.01.2010

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hallo leute ich hab ne aufgabe die ich garnicht verstehe ich hoffe ihr könnt mir helfen

sie lautet:

man soll beweisen: Ist f:[a,b]→R stetig und gilt ∫abf(x)g(x)dx=0 für alle stetigen Funktionen g:[a,b]→R, so ist f die Nullfunktion.

ich hoffe ihr könnt mir helfen

danke !!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

17:53 Uhr, 30.01.2010

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Sei f eine solche Funktion.
Wähle g=f.
Dann ∫abf2(x)dx=∫abf(x)g(x)dx=0
Der Integrand ist nichtnegativ und stetig.
Wäre y:=f2(x0)>0 für ein x0∈[a,b], so gäbe es ein ε>0 mit f2(x)>f2(x0)-y2=y2 für alle x∈[a,b] mit |x-x0|<ε.
Da das Intervall [a,b]∩(x0-ε,x0+ε) mindestens die Länge min(ε,b-a) hat, folgt ∫abf2(x)dx≥min(ε,b-a)⋅y2>0 im Widerspruch zur Annahme.
Also ist f2 und somit auch f die Nullfunktion.
Antwort
Alx123

Alx123 aktiv_icon

18:38 Uhr, 30.01.2010

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Hallo,
müsste man das nicht noch für den Fall f≠g beweisen?
Du hast ja letztendlich bewiesen das jede stetige positive Funktion zum Quadrat über
ein nichtleeres Intervall integriert nicht 0 ist, ausser die Funktion selbst ist 0.
Da du aber f=g setzt ist also auch g=0.
Aber das Integral aller stetigen Funktionen g multiplizert mit 0 ,ist natürlich auch 0.

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