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differenzierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

schalkeboy aktiv_icon

17:56 Uhr, 08.07.2015

Es sei

f : ℝ

→

ℝ

eine beschränkte Funktion. Untersuchen Sie die Funktion

g (x) = x^{2} \cdot f (x)

auf Differenzierbarkeit an der Stelle

x_{0} = 0

lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}}

Aber wie soll ich das hier bei dieser Funktion anwenden?
Hier ist ja in der Funktion eine 2te funktion

f (x)

gegeben.

Denn eingesetzt:

lim_{x \to 0} \frac{(x^{2} \cdot f (x)) - ({(x 0)}^{2} \cdot f (x_{0}))}{x - 0}

wie soll ich denn jetzt hier weiter machen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Atlantik aktiv_icon

18:12 Uhr, 08.07.2015

g (x) = x^{2} \cdot f (x)

g

(x) = 2 x \cdot f (x) + x^{2} \cdot f

(x)

g

(0) = 2 \cdot 0 \cdot f (0) + 0 \cdot f

(0) = 0

mfG

Atlantik

schalkeboy aktiv_icon

18:37 Uhr, 08.07.2015

Aber was hat dies für einen zusammenhang mit der obigen definition?
Ich dachte man untersucht eine Funktion auf differenzierbarkeit an einer Stelle

x_{0}

mit

lim \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = f' (x_{0})

Du hast ja einfach jetzt mit dem Produktreel abgeleitet.

Roman-22

19:07 Uhr, 08.07.2015

"
Denn eingesetzt:

limx→0(x2⋅f(x))-((x0)2⋅f(x0))x-0

wie soll ich denn jetzt hier weiter machen?
"

Na, dann schreib doch für die beiden verbleibenden

x_{0}

auch noch

0,

kürze durch

x

und schon sollst du nur mehr

lim_{x \to 0} [x \cdot f (x)]

berechnen und du weißt, dass

f (x)

beschränkt ist!

Anmerkung:

0 \cdot f (0) = 0,

weil

f (x)

beschränkt ist (ansonsten könnte sich hier ein unebstimmter Ausdruck

\frac{0}{0}

reinschwindeln).

@Atlantik: Leider garantiert dir niemand, dass die Ableitung von

f (x)

an der Stelle 0 existiert oder dass

f (x)

überhaupt differenzierbar ist!

schalkeboy aktiv_icon

21:44 Uhr, 08.07.2015

lim_{x \to 0} x \cdot f (x) = 0

und somit ist

f' (0) = 0

Und was war alles oder?

Roman-22

22:29 Uhr, 08.07.2015

Ja.

schalkeboy aktiv_icon

22:36 Uhr, 08.07.2015

Alles klar, danke.

Noch ne frage zu dem anderen Thema. ich schreibe das gleich hier, da das andere thread vergessen worden ist.

zur stetigkeit :

f (x) = e^{x} + log x - 3

bei der Lösung dieser funktion steht

, f

ist stetig als komposition von stetigen funktion.
So steht das in der Lösung.

wieso darf man die stetigkeit hier so begründen? so stehts in der Lösung.

Roman-22

00:51 Uhr, 09.07.2015

Hier wird der Begriff "Komposition" offensichtlich nicht in der mathematischen Definition verwendet sondern umgangssprachlich. Da könnte stattdessen genau so gut auch "Kombination" oder "MischMasch" stehen. Das ist natürlich ungenau und irreführend, denn auf diese Weise ist auch nicht klar, wo denn die Grenze beim Verwursten stetiger Funktionen ist - spielen nur die Grundrechnungsarten mit oder doch mehr?
Ein ähnliches Problem hat man desöfteren bei kombinatorischen Aufgaben, wenn die Rede vom zusammenzählen oder -multiplizieren aller möglichen "Kombinationen" ist. Da ist auch nicht immer die "Kombination" (im Unterschied zu Variation und Permutation) im mathematisch-kombinatorischen Sinn gemeint.
Wenn irgend möglich (und das ist es meist doch) sollte man solche Verwirrungen vermeiden und sprachlich umschiffen.
Bei deinem Beispiel wäre es etwa sinnvoller, von einer Linearkombination stetiger Funktionen zu sprechen, die dann eben auch wieder stetig ist.

R

schalkeboy aktiv_icon

12:43 Uhr, 09.07.2015

Dankeschön.

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