Vielfachheit einer Nullstelle

Die Vielfachheit einer Nullstelle einer Funktion ist eine Eigenschaft der Nullstelle bezüglich der Ableitung [mehr dazu] der Funktion.

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt auch an auf welcher Art die Funktion die x-Achse in einem Punkt "berührt" bzw. "schneidet".

1-fache Nullstelle: Schnittstelle mit der x-Achse.
2-fache Nullstelle: Berührstelle mit der x-Achse.
3-fache Nullstelle: Nullstelle ist ein Sattelpunkt.

Beispiele:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^2-1}$
${\displaystyle f\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle f\text{'}\left(1\right)=2\Rightarrow x=1}$ ist keine Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle x=1}$ ist 1-fache Nullstelle. In ${\displaystyle x=1}$ schneidet die Funktion die x-Achse.



${\displaystyle f\left(x\right)={(x-1)}^2}$
${\displaystyle f\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle f\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist auch Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle f\text{'}\text{'}\left(1\right)=2\Rightarrow x=1}$ ist keine Nullstelle der zweiten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle x=1}$ ist 2-fache Nullstelle. In ${\displaystyle x=1}$ berührt die Funktion die x-Achse bzw die x-Achse tangiert den Graphen der Funktion.



${\displaystyle f\left(x\right)={(x-1)}^3}$
${\displaystyle f\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist Nullstelle.
${\displaystyle f\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist auch Nullstelle der ersten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle f\text{'}\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow x=1}$ ist auch Nullstelle der zweiten Ableitung [mehr dazu].
${\displaystyle f\text{'}\text{'}\text{'}\left(1\right)=6\Rightarrow x=1}$ ist keine Nullstelle der dritten Ableitung [mehr dazu].



${\displaystyle x=1}$ ist 3-fache Nullstelle. In ${\displaystyle x=1}$ hat die Funktion einen Sattelpunkt.