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Abituraufgabe : Das Wachstum von Sonnenblumen

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion

Freak4life aktiv_icon

17:15 Uhr, 09.01.2009

Hey Leute.

Ich schon wieder.

Ich benötige wieder mal eure Hilfe.
Diesmal dreht es sich um folgendes :

a)

Zu Beginn der Messung beträgt die Höhe

0,1 m

. Nach

100

Tagen beträgt sie

1,27 m

. Nach

200

Tagen ist sie mit

2 m

ausgewachsen. Bestimme eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die die genannten Bedingungen erfüllt.

Hierbei ist mein Problem , das ich für 4 Variablen ( ax^3+bx^2+cx+d

\to f (x))

nur 3 Messwerte habe.
Ich komme damit nicht weiter. Über die Ableitung kann ich nichts machen, da wir nur die 3 Messwerte bekommen haben.
Könnt ihr mir hier einen Tipp geben, bitte.

b)

Die Biologen gelangen mit HIlfe mathematischer Modellierung zu folgend rFunktion.
(1)

h (t, r) \to \frac{2 \cdot e^{r \cdot t}}{e^{r \cdot t} + 19}

t :

Zeit in Tagen

r > 0

konstant

b 1)

Wie groß ist die Sonnenblume zu Beginn der Messung nach dieser Funktion :

0,1

meter

b 2)

Zeige, das

h

streng monoton steigend ist.

Ableitung

: \frac{38 \cdot e^{r \cdot t} \cdot r}{{(e^{r \cdot t} + 19)}^{2}}

\frac{38 \cdot e^{r \cdot t} \cdot r}{{(e^{r \cdot t} + 19)}^{2}} > 0

r > 0

ist die Funktion monoton steigend.

b 3)

Wie groß wird die Sonnenblume? ERläutere in diesem Zusammenhang die Grenzen des mathematischen Modells .

lim_{t \to \infty} (\frac{2 \cdot e^{r \cdot t}}{e^{r \cdot t} + 19}) =

undef

Keine Ahnung , was ich damit anfangen soll...

b 4)

Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten und wie groß ist dann die Sonnenblume ?
Welche Bedeutung hat dieser Zeitpunkt in Bezug auf den Graphen von

h

.

Einfach den Wendepunkt ausrechnen .

2. Ableitung

: \frac{- 38 \cdot e^{t \cdot r} \cdot (e^{r \cdot t} - 19) \cdot r^{2}}{{(e^{t \cdot r} + 19)}^{3}}

Nullstellen

: x 1 = \frac{ln (19)}{r}

3. Ableitung mit

x 1 \neq 0

3. Ableitung

: \frac{38 \cdot e^{t \cdot r} \cdot (e^{2 \cdot r \cdot t} - 76 \cdot e^{r \cdot t} + 361) \cdot r^{3}}{{(e^{r \cdot t} + 19)}^{4}} \to f''' (r, t)

f''' (r, (\frac{ln (19)}{r})) = \frac{- r^{3}}{4}

WP bei

((\frac{ln (19)}{r}) | 1)

Oder ?

Bei der Größe

(1

für

t

einsetzen bekomme ich wieder keinen festen Wert raus )

b 6)

Allgemein kann logistisches Wachstum durch eine Funktion der Form

H (r, t)

→

\frac{a \cdot e^{r \cdot t}}{e^{r \cdot t} + b}

dargestellt werden.

Bestimme a und

b

so, dass die Sonnenblume zu Beginn der Messung

0,2 m

groß ist und die Grenzhöhe

1,8 m

beträgt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Astor aktiv_icon

17:36 Uhr, 09.01.2009

Hallo,
also zur Aufgabe b:
b1 ist korrekt.
b2 korrekt
b3 ?
b4 Wann ist das Wachstum am größten?
h(r,t) beschreibt die Höhe.

h ʹ (t)

beschreibt die Änderung der Höhe, also das Wachstum. Somit kann man mit der 2. Ableitung von h die Extrema der 1. Ableitung, als vom Wachstum bestimmen.

x_{1}

ist Maximumstelle für die 1. Ableitung, das Wachstum. Wendepunkt ist korrekt berechnet. Im Wendepunkt ist die Sonnenblume 1m groß. In der Höhe h= 1m hat die Sonnenblume das stärkste Wachstum.
Gruß Astor

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