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Ableitung, E-funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Anwendung, e-Funktion

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19:30 Uhr, 18.12.2012

So wie sollen eine Kurvenuntersuchung zu der Funktion

f (x) = x \cdot e^{x + 1}

durchführen.
Ich komme schon bei der Berechnung der Nullstellen nicht weiter une morgen wird die Lehrerin eine paar Leute herauswürfeln und wir sollen die Aufgabe dann vorrechnen. Ich habe natürlich mega Angst udn hoffe, dass ihr mich nicht im Stich lässt ;-)
Ich habe schon die ersten 3 Ableitungen berechnet:

f' (x) = e^{x + 1} \cdot (x + 1)

f'' (x) = e^{x + 1} \cdot (x + 2)

f''' (x) = e^{x + 1} \cdot (x + 3)

Zuerst sollenm wir die Nullstellen berechnen.

x \cdot e^{x + 1} = 0

Wie kann ich denn weiterrechnen? Die 1 im Exponenten verwirrt mich. Soll ich einfach "ausprobieren" indem ich Werte für

x

einsetze? Ich habe

z . B

. 0 eingesetzt und es kamm auch als Nullstelle

x

heraus. Aber ich weiß nicht ob man das darf, sollte ich es vielleicht schriftlich also rechnerisch nachweisen können?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Mathe45

19:46 Uhr, 18.12.2012

Cool bleiben, Mäderl. Das schnallst du schon.
Knallen wir uns mal die Substanz.

f (x) = x \cdot e^{x + 1}

Das sind einmal zwei Faktoren die sich auf einen Haufen werfen.
Der Haufen soll 0 sein, also entweder der erste oder der zweite Faktor.
Der zweite Faktor hat aber null Bock auf

0,

also der erste=> Nullstelle ist 0

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19:50 Uhr, 18.12.2012

okay also darf ich

e^{x + 1}

einfach mal ignorieren?

Mathe45

19:51 Uhr, 18.12.2012

Totaler Durchblick ! Roger !

Mathe45

19:54 Uhr, 18.12.2012

Bei der ersten Ableitung haben wir dann die selbe Leier in grün.

f' (x) = (x + 1) \cdot e^{x + 1}

e^{x + 1}

will nicht 0 werden, also

x + 1

vor, noch ein Tor.

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Und schon klingelts extrem, diesmal unten

(f''

zeigt wo's lang geht )

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19:56 Uhr, 18.12.2012

okay danke schon mal :-)
Dann können wir ja jetzt zum Berechnen der Extrema kommen :-)

f' (x) = 0

f'' (x) \neq 0

e^{x + 1} \cdot (x + 1) = 0

Ich denke es wäre vielleicht besser wenn ich das auflöse?

x e^{x + 1} + e^{x + 1} = 0

Ka man hier auch das

e^{x + 1}

so einfach ignorieren?

Mathe45

19:57 Uhr, 18.12.2012

Jetzt noch

W

anvisieren ( eh schon wissen,

f'' (x) = 0),

haut irgendwo bei

x = - 2

hin.
Und fertig !

Mathe45

19:59 Uhr, 18.12.2012

Neee, nicht auflösen. Produkt

0,

Faktor 0.

e^{x + 1}

kann nicht 0 werden, also

. .

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19:59 Uhr, 18.12.2012

oka xich sehe meine frage hat sich erübrigt :-)

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20:04 Uhr, 18.12.2012

kann es sein, dass ich einen TP bei

(- 1; - 1)

habe?

Mathe45

20:07 Uhr, 18.12.2012

TR vor dem Vorhang ! TP bei

(- 1 | - 1)

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20:10 Uhr, 18.12.2012

okay :-) Dann habe ich noch einen WP bei

(- 2; - 0,736)

Mathe45

20:13 Uhr, 18.12.2012

Passt !

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20:20 Uhr, 18.12.2012

Vielen Dank

=)

Aber der blödeste Teil fehlt mir leider noch.
Der Ursprung wird mit dem Punkt

P (- 1; f (- 1))

durch eine Sekante

s

verbunden.
Wie groß ist das Flächenstück zwischen Kurve

f

und Sekante s?
Wie lang ist Sekante s?

Mathe45

20:26 Uhr, 18.12.2012

Ist Diesiges gemeint ?

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20:27 Uhr, 18.12.2012

ja also zu dieser aufgabe noch

Mathe45

20:31 Uhr, 18.12.2012

Sekante:

g (x) = x

f (x) = x \cdot e^{x + 1}

A = \int_{- 1}^{0} (x - x \cdot e^{x + 1}) d x = . .

.
Länge der Sekante

s = \sqrt{2} = 1,414 . .

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20:38 Uhr, 18.12.2012

muss man jetzt beim integrieren nicht irgendwoe aufleiten? oder verwechsel ich gerade was?

Mathe45

20:42 Uhr, 18.12.2012

Integrieren, "aufleiten",

A = \int_{- 1}^{0} (x - x \cdot e^{x + 1}) d x = . .

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20:46 Uhr, 18.12.2012

Also ich hab hier noch angegeben, dass

F (x) = (x - 1) \cdot e^{x + 1}

die Stammfunktion von

f

ist...

Mathe45

20:47 Uhr, 18.12.2012

Das ist korrekt !

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20:49 Uhr, 18.12.2012

ja aber ich weiß jetzt nicht konkret wie ich das anwenden soll.

Mathe45

20:50 Uhr, 18.12.2012

A = \int_{- 1}^{0} (x - x \cdot e^{x + 1}) d x = \int_{- 1}^{0} x d x - \int_{- 1}^{0} (x \cdot e^{x + 1}) d x = \frac{x^{2}}{2} - e^{x + 1} \cdot (x - 1)

zwischen den Grenzen

- 1

und 0

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20:58 Uhr, 18.12.2012

also ist das jetzt die aufleitung und ich muss nur noch 0 und

- 1

einsetzten und es voneinander abziehen?

Mathe45

21:00 Uhr, 18.12.2012

So ist es !

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21:04 Uhr, 18.12.2012

bei mir kommt dann für die Fläche

1,218

raus..

Mathe45

21:07 Uhr, 18.12.2012

Da ist irgendwo ein Fehler - siehe meine Grafik weiter oben !

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21:15 Uhr, 18.12.2012

ah okay jetzt komme ich auch auf das Ergebnis

=)

Jetzt muss ich nur noch wissen wie ich die Länge der Sekante errechnen kann^^

Mathe45

21:18 Uhr, 18.12.2012

Pythagoräischer Lehrsatz ( siehe Grafik )

s = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} = 1,41421 . .

Honigbiene17 aktiv_icon

21:21 Uhr, 18.12.2012

oh stimmt damit würde das echt einfach gehen. Danke

!) =)

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