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Ableitung ins Integral ziehen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, Integralgrenzen, integrieren

 
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MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

13:16 Uhr, 21.04.2023

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Liebes Matheforum,

ich habe eine Frage zum tauschen von der Ableitung und dem Integral. Mein Problem ist folgendes:

∂2∂s2∫0sK(s,t)g(t)dt.
Ich weiß nicht wie ich damit umgehen soll, dass die Integralgrenze von der Variable abhängt, nach welcher ich ableiten möchte.

Danke schonmal im Voraus an alle, die sich mit der Frage beschäftigen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Antwort
HAL9000

HAL9000

13:31 Uhr, 21.04.2023

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Es gilt die sogenannte Leibnizregel ∂∂s∫a(s)b(s)f(s,t)dt=f(s,b(s))b´(s)-f(s,a(s))a´(s)+∫a(s)b(s)∂∂sf(s,t)dt .

Mit a(s)=0,b(s)=s bedeutet das

∂∂s∫0sf(s,t)dt=f(s,s)+∫0s∂∂sf(s,t)dt

und nochmal abgeleitet

∂2∂s2∫0sf(s,t)dt=∂∂s[f(s,s)]+[∂∂sf(s,t)]t=s+∫0s∂2∂s2f(s,t)dt .

Das ganze jetzt angewandt auf f(s,t)=K(s,t)⋅g(t) bedeutet

∂∂sf(s,t)=[∂∂sK(s,t)]⋅g(t)

∂2∂s2f(s,t)=[∂2∂s2K(s,t)]⋅g(t) .

Den ersten Summanden ∂∂s[f(s,s)] könnte man auch noch in die Ableitungen von K und g expandieren, aber das lasse ich erstmal.
MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

13:37 Uhr, 21.04.2023

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Danke für Ihre schnelle Antwort, ich werde mich sobald ich Zuhause bin an die Aufgabe begeben und melde mich, falls ich noch genauere Fragen habe.
Frage beantwortet
MatheStudent12345

MatheStudent12345 aktiv_icon

16:46 Uhr, 21.04.2023

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Habe alles verstanden, Danke nochmal