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Stammfunktion

Mathematischer Grundbegriff

Als Stammfunktion einer Funktion

f

bezeichnet man eine differenzierbare Funktion

F,

deren Ableitungsfunktion [mehr dazu]

F'

mit

f

übereinstimmt.

Kurz: Damit

F

eine Stammfunktion zu

f

ist, muss gelten:

F'(x) = f(x)

Man sagt Stammfunktion, wenn man eine konkrete Stammfunktion

F (x)

meint und unbestimmtes Integral, wenn man die Gesamtheit aller Stammfunktionen,

d . h

. an

F (x) + C,

meint.

Man schreibt:

\int f (x) d x = F (x) + C

wobei

C

eine beliebige Konstante ist, da es zu jeder Funktion beliebig viele Stammfunktionen gibt, die sich nur in der Konstante unterscheiden (die fällt ja beim Ableiten wieder weg)

Beispiel:

Ist

F

mit

F (x) = x^{3} + x^{2}

eine Stammfunktion zu

f

mit

f (x) = 3 x^{2} + 2 x

?
Da

F' (x) = 3 x^{2} + 2 x = f (x),

ist

F

Stammfunktion zu

f

.

Das unbestimmte Integral von

f (x) = 3 x^{2} + 2 x

ist

\int f (x) d x = x^{3} + x^{2} + C

.

Wichtige Stammfunktionen:

Stammfunktion für Polynomfunktionen:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

mit

n \neq - 1

Beispiel:

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C

Stammfunktion der e-Funktion [mehr dazu]:

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Stammfunktion der Hyperbelfunktion:

\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C

Stammfunktion der Sinusfunktion [mehr dazu]:

\int sin (x) d x = - cos (x) + C

Stammfunktion der Kosinusfunktion [mehr dazu]:

\int cos (x) d x = sin (x) + C

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