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Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) mit f(x)=ex ist relativ einfach:

exdx=ex+C

wobei C


Ist die Exponentialfunktion jedoch in einer etwas modifizierten Form, wird es schon komplizierter.


1. Variante (Linearer Term im Argument der Exponentialfunktion)

Ist die Funktion f mit f(x)=eax+b gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

eax+bdx=1aeax+b+C


2. Variante (Exponentialfunktion mit beliebiger Basis)

Ist die Funktion f mit f(x)=ax gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

axdx=1lnaax+C


Die Stammfunktionen zu anders modifizierten Exponentialfunktionen lassen sich meist über Integration mit Substitution oder Partielle Integration [LINK] ermitteln.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=5ex.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f.

5exdx

Nach der Faktorregel, kann man 5 vor das Integral ziehen:

=5exdx

=5ex+C

wobei C

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=e2x-5.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f.

e2x-5dx

=12e2x-5+C

wobei C

Begründung über die Kettenregel:

Leitet man die Funktion f(x)=e2x-5 ab, so ergibt dies:

f'(x)=e2x-52,   da 2x-5 noch nachdifferenziert werden muss.
Um diesen Faktor zu kompensieren, wird vor die Stammfunktion 12 als Faktor geschrieben.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2x.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f.

2xdx

=1ln(2)2x+C

wobei C

Begründung über die Kettelregel:

Möchte man die Funktion f(x)=2x ableiten, so muss dieser Funktionsterm zunächst umgeformt werden.

f(x)=2x=eln(2x)

Erinnere Dich:
ex ist die Umkehrfunktion zu lnx. Daher ergibt elnx=x.
Damit gilt auch eln(2x)=2x.

Nun benötigt man noch die 3. Logarithmenrechenregel:
ln(2x)=xln2

Nun lässt sich die Ableitung schreiben als:

f(x)=2x=eln(2x)
f(x)=exln2

Leitet man diese Funktion ab, so ergibt dies:

f'(x)=exln2ln2,
da mit ln2 nachdifferenziert werden muss.

Also lautet die Ableitung von f(x)=2x:
f'(x)=2xln2

Um den Faktor ln2 zu kompensieren, wird vor der Stammfunktion 1ln2 als Faktor geschrieben.