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Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) mit $f (x) = e^{x}$ ist relativ einfach:

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

wobei $C \in ℝ$

Ist die Exponentialfunktion jedoch in einer etwas modifizierten Form, wird es schon komplizierter.

1. Variante (Linearer Term im Argument der Exponentialfunktion)

Ist die Funktion $f$ mit $f (x) = e^{a \cdot x + b}$ gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

$\int e^{a \cdot x + b} d x = \frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x + b} + C$

2. Variante (Exponentialfunktion mit beliebiger Basis)

Ist die Funktion $f$ mit $f (x) = a^{x}$ gegeben, so lautet die Menge der Stammfunktionen:

$\int a^{x} d x = \frac{1}{ln a} \cdot a^{x} + C$

Die Stammfunktionen zu anders modifizierten Exponentialfunktionen lassen sich meist über Integration mit Substitution oder Partielle Integration $[$ LINK] ermitteln.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 5 \cdot e^{x}$ .
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion $f$ .

$\int 5 \cdot e^{x} d x$

Nach der Faktorregel, kann man 5 vor das Integral ziehen:

$= 5 \int e^{x} d x$

$= 5 e^{x} + C$

wobei $C \in ℝ$

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = e^{2 x - 5}$ .
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion $f$ .

$\int e^{2 x - 5} d x$

$= \frac{1}{2} e^{2 x - 5} + C$

wobei $C \in ℝ$

Begründung über die Kettenregel:

Leitet man die Funktion $f (x) = e^{2 x - 5}$ ab, so ergibt dies:

$f' (x) = e^{2 x - 5} \cdot 2,$ da $2 x - 5$ noch nachdifferenziert werden muss.
Um diesen Faktor zu kompensieren, wird vor die Stammfunktion $\frac{1}{2}$ als Faktor geschrieben.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 2^{x}$ .
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion $f$ .

$\int 2^{x} d x$

$= \frac{1}{ln (2)} 2^{x} + C$

wobei $C \in ℝ$

Begründung über die Kettelregel:

Möchte man die Funktion $f (x) = 2^{x}$ ableiten, so muss dieser Funktionsterm zunächst umgeformt werden.

$f (x) = 2^{x} = e^{ln (2^{x})}$

Erinnere Dich:
$e^{x}$ ist die Umkehrfunktion zu $ln x$ . Daher ergibt $e^{ln x} = x$ .
Damit gilt auch $e^{ln (2^{x})} = 2^{x}$ .

Nun benötigt man noch die 3. Logarithmenrechenregel:
$ln (2^{x}) = x \cdot ln 2$

Nun lässt sich die Ableitung schreiben als:

$f (x) = 2^{x} = e^{ln (2^{x})}$
$f (x) = e^{x \cdot ln 2}$

Leitet man diese Funktion ab, so ergibt dies:

$f' (x) = e^{x \cdot ln 2} \cdot ln 2,$
da mit $ln 2$ nachdifferenziert werden muss.

Also lautet die Ableitung von $f (x) = 2^{x} :$
$f' (x) = 2^{x} \cdot ln 2$

Um den Faktor $ln 2$ zu kompensieren, wird vor der Stammfunktion $\frac{1}{ln 2}$ als Faktor geschrieben.

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