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Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:

f(x)=ax

wobei a die Basis und x die Variable ist (a ).

I.d.R werden verkettete Funktion im Zusammenhang mit einer Exponentialfunktion untersucht, also Funktionen der Form:

f(x)=g(x)ah(x)

g(x) und h(x) sind beliebige stetige Funktionen.


Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine Exponentialfunktion ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableiten von Exponentialfunktionen



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Funktionen der Form ag(x) besitzen keine Nullstellen.



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxf(x)

limx-f(x)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)

Da die Exponentialfunktion ax keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für Funktionen der Form g(x)ax ausgeschlossen werden.



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da Exponentialfunktionen stetig sind, gilt:

f'(x)>0     Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0     Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel

f(x)=-(x+2)e-x



1) Ableitungen bilden:

Verwendete Ableitungsregel: Produktregel

f'(x)=(x+1)e-x

f''(x)=-xe-x

f'''(x)=(x-1)e-x



2) Definitionsbereich bestimmen:

Die Funktionen x+2 und e-x sind auf ganz definiert.

Df=



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

-(x+2)e-x=0

e-x hat keine Nullstellen.

x+2=0

x=-2

Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x=-2

f(0)=-(0+2)e-0=-2

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle y=-2

KD_eFunktion_I_Nullstellen



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

limxf(x)=limx-(x+2)e-x=limx-x+2ex=limx-1ex=0-

Für obigen Limes wurde die Regel von l'Hospital verwendet.

Die Funktion nähert sich von unten im Unendlichem an die x-Achse.

limx-f(x)=limx--(x+2)e-x=limx--x+2ex=

KD_eFunktion_I_GRenzen



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

Da die e-Funktion keine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt, kann diese auch für f(x) ausgeschlossen werden.
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=(x+1)e-x

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f'(x)=0

  (x+1)e-x=0

Da die Funktion e-x auf ganz positiv ist erkennt man leicht, dass der Vorzeichenwechsel nur durch den ersten Faktor der Ableitung bestimmt wird.

x+1=0

  x=-1

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

KD_eFunktion_I_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f'(x)<0 für   x]-;-1[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)>0 für   x]-1;[
Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

KD_eFunktion_I_Monotonie
7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion ein Extrempunkt an der Stelle x=-1

Bei x=-1 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach + Minimum

f(-1)=-(-1+2)e-(-1)=-e

  P(-1|-e) Minimum

KD_eFunktion_I_Extrema



8) Wendepunkte bestimmen:

f''(x)=0

  -xe-x=0

  x=0

f'''(x)=(x-1)e-x

  f'''(0)=-10

Bei x=0 hat die Funktion ein Wendepunkt.

  f'''(0)=-1<0

Bei x=0 wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

f(0)=-2

  W(0|-2) Wendepunkt

KD_eFunktion_I_Wendepunkt



9) Zeichnung:

KD_eFunktion_I_Graph
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