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Sattel- bzw.Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen?

Wie bestimmt man die Sattelpunkte eines Funktionsgraphen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Krümmungsverhalten
Wendepunkte

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Ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) ist ein spezieller Wendepunkt.
In einem Sattelpunkt hat der Graph der Funktion eine waagerechte Tangente und einen Wendepunkt.

Die Vorgehensweise für die Ermittlung der Sattelpunkte ist:

1) Erste Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :
(Wo gibt es waagerechte Tangenten?)

Ansatz:

Erste Ableitung Null setzen: $f' (x) = 0$

Nun die Gleichung $f' (x) = 0$ nach $x$ auflösen

Die Lösungen der Gleichung $f' (x) = 0$ sind die $x_{0}$ -Werte möglicher Sattelpunkte.

3) Zweite Ableitung $f'' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden

4) Die Nullstellen der ersten Ableitung $(x_{0}$ -Werte aus Punkt 2) $)$ in die zweite Ableitung einsetzen
und prüfen ob gilt: $f'' (x_{0}) = 0$

$(x_{0}$ soll eine Lösung der Gleichung $f' (x) = 0$ sein.)

Die $x_{0}$ -Werte eines Sattelpunkts müssen also Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung sein!

Man sagt $x_{0}$ erfüllt die notwendige Bedingung für ein Sattelpunkt:

$f' (x_{0}) = 0$ UND $f'' (x_{0}) = 0$

5) Dritte Ableitung $f''' (x)$ von der Funktion $f (x)$ bilden

6) Die $x_{0}$ -Werte aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen $f''' (x_{0})$ und prüfen ob gilt: $f''' (x) \neq 0$

Ist diese Bedingung erfüllt, liegt somit ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt vor.

Man sagt $x_{0}$ erfüllt die hinreichende Bedingung für ein Sattelpunkt:

$f' (x_{0}) = 0$ UND $f'' (x_{0}) = 0$ UND $f''' (x_{0}) \neq 0$

Beispiel

$f (x) = x^{3}$

1) Erste Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden:

$f' (x) = 3 x^{2}$

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln:

$f' (x) = 0$

$3 x^{2} = 0$

$\Rightarrow x_{0} = 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ ist ein möglicher Sattelpunkt.

3) Zweite Ableitung $f'' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden:

$f'' (x) = 6 x$

4) Die Nullstelle $x_{0}$ der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: $f'' (x_{0}) = 0$

$f'' (x_{0}) = f'' (0) = 6 \cdot 0 = 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ ist ein möglicher Sattelpunkt.

5) Dritte Ableitung $f''' (x)$ von der Funktion $f (x)$ bilden:

$f''' (x) = 6$

6) Den x_0-Wert aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: $f''' (x_{0}) \neq 0$

$f''' (x_{0}) = f''' (0) = 6 \neq 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ hat die Funktion einen Sattelpunkt.

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Beispiel für eine Funktion ohne Sattelpunkt

$f (x) = x^{4}$

1) Erste Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden:

$f' (x) = 4 x^{3}$

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln:

$f' (x) = 0$

$4 x^{3} = 0$
$\Rightarrow x_{0} = 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ ist ein möglicher Sattelpunkt.

3) Zweite Ableitung $f'' (x)$ der Funktion $f (x)$ bilden:

$f'' (x) = 12 x^{2}$

4) Die Nullstelle $x_{0}$ der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: $f'' (x_{0}) = 0$

$f'' (x_{0}) = f'' (0) = 12 \cdot 0^{2} = 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ ist ein möglicher Sattelpunkt.

5) Dritte Ableitung $f''' (x)$ von der Funktion $f (x)$ bilden:

$f''' (x) = 24 x$

6) Den x_0-Wert aus 4) in die dritte Ableitung einsetzen und prüfen ob gilt: $f''' (x_{0}) \neq 0$

$f''' (x_{0}) = f''' (0) = 24 \cdot 0 = 0$

Es gilt nicht $f''' (x_{0}) \neq 0$

$\Rightarrow$ An der Stelle $x_{0} = 0$ hat die Funktion KEINEN Sattelpunkt.

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