Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Wendepunkte eines Funktionsgraphen

Wendepunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie bestimmt man die Wendepunkte eines Funktionsgraphen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Notwendige Bedingung
(So bestimmt man die Stellen, an denen Wendepunkte möglich sind.)


1) Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden.

2) Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion ermitteln:

   Ansatz:

   Zweite Ableitung Null setzen:   f''(x)=0

   Nun die Gleichung   f''(x)=0   nach x auflösen.

Die Lösungen der Gleichung   f''(x)=0   sind die x0 -Werte möglicher Wendepunkte.
Man sagt, sie erfüllen die notwendige Bedingung für ein Wendepunkt:
f''(x0)=0

(x0 soll eine Lösung der Gleichung f''(x)=0 sein)


Hinreichende Bedingung
(So bestimmt man, ob an den gefunden Stellen auch tatsächlich Wendepunkte vorliegen.)

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen.

  (x0 soll eine Lösung der Gleichung f''(x)=0 sein.)

   Hierfür gibt es 2 Methoden:

   Methode der dritten Ableitung:

   Dritte Ableitung f'''(x) bilden.

   Die x0 -Werte aus 2) in die dritte Ableitung einsetzen: f'''(x0)

   Prüfen ob gilt:   f'''(x0)0

Für ein Wendepunkt an der Stelle x0 gilt stets:   f'''(x0)0

Man sagt x0 erfüllt die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt:
f'''(x0)0


Wie der Graph der Funktion f(x) sein Krümmungsverhalten ändert, wird am Vorzeichen der dritten Ableitung abgelesen:

f''(x0)=0   UND   f'''(x0)<0,   so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von links nach rechts (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve)



bild_1

f''(x0)=0   UND   f'''(x0)>0,   so so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von rechts nach links (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve)



bild_2



   Methode des Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung:
   (wendet man eher selten an)

   Man prüft ob die zweite Ableitung ihr Vorzeichen an der Stelle x0 wechselt, indem man untersucht wo die
   zweite Ableitung kleiner Null und größer Null ist:

  f''(x0)<0

  f''(x0)>0

Wechselt die zweite Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x0 ihr Vorzeichen von "+" (Plus) auf "-" (Minus), so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von links nach rechts (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve)



Wechselt die zweite Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x ihr Vorzeichen von "-" (Minus) auf "+" (Plus), so so wechselt der Graph im Wendepunkt seine Krümmung von rechts nach links (anders: Der Graph wechselt im Wendepunkt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve)



Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen!

Beispiel:

f(x)=13x3-2x2+3x

bild_1

1) Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden:

    f'(x)=x24x+3

    f''(x)=2x-4


2) Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion ermitteln:

    f''(x)=0

      2x4=0

    2x=4

      x0=2

bild_2


3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen:

   Bestimmt mit der dritten Ableitung

    f'''(x)=(2x-4)'=2

    f'''(x0)=f'''(2)=20

   An der Stelle x0=2 liegt ein Wendepunkt vor.

    f'''(2)=2>0

       Bei x0=2 hat die Funktion eine Wendestelle, der Graph wechselt von einer Rechtskurve in eine
           Linkskurve.


   Alternative: Bestimmt über den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung

    f(x)=2x – 4

     Für welche x gilt   f''(x)>0?

    2x4>0

      x>2

     Für welche x gilt   f''(x)<0?

    2x4<0

      x<2

   Die zweite Ableitung ist negativ für alle x die kleiner sind als 2 und positiv für alle x die größer sind als 2.

   Die zweite Ableitung wechsel also bei x0=2 ihr Vorzeichen von "-" nach "+".

     Bei x0=2 hat die Funktion eine Wendestelle, der Graph wechselt von einer Rechtskurve in eine
         Linkskurve.

bild_3



Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema