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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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f' (x)

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Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

wobei

x

die Variable und die

a, b, c

und

d

die Koeffizienten sind.

(a, b, c, d

ℝ)

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:

1) Ableitungen bilden:

f' (x), f'' (x)

und

f''' (x)

Die dritte Ableitung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet stets

f''' (x) = 6 a

. Sie ist somit immer ungleich 0.

Wie man eine ganzr. Fkt. 3. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableitung einer Polynomfunktion

2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Für einer ganzrationale Funktion 3. Grades gilt stets:

D = ℝ

3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:

f (x) = 0

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat maximal 3 Nullstellen

Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden:
Nullstellen von Polynomfunktionen

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

lim_{x \to \infty} f (x)

lim_{x \to - \infty} f (x)

Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades der Term

a x^{3}

den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen:

Ist der Koeffizient a positiv, dann ist

lim_{x \to \infty} f (x) = + \infty

(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

und

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty

(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)

Ist der Koeffizient a negativ, dann ist

lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty

(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)
und

lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty

(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f (- x) = f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f (- x) = - f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

Ganzrationale Funktionen 3. Grades sind stets punktsymmetrisch. (es muss nicht immer bezgl. dem Ursprung sein

!)

6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da ganzrationale Funktionen 3. Grades stetig sind, gilt:

f' (x) > 0

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton

7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:

f' (x) = 0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen

8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:

f'' (x) = 0

Prüfung mit

f''' (x_{0}) \neq 0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen

9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x

1) Ableitungen bilden:

f' (x) = x^{2}

–

4 x + 3

f'' (x) = 2 x

– 4

f''' (x) = 2

2) Definitionsbereich bestimmen:

D = ℝ

3) Nullstellen bestimmen:

f (x) = 0

\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x = 0

x

ausklammern:

x \cdot (\frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3) = 0

\Rightarrow x_{1} = 0

\frac{1}{3} x^{2}

–

2 x + 3 = 0

Lösen mit der Mitternachtsformel:

\Rightarrow x_{2} = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3

(doppelte Nullstelle)

Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen 0 und 3

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild1

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty,

\frac{1}{3} > 0

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty,

\frac{1}{3} > 0

5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f (- x) = {(- x)}^{3} - 2 {(- x)}^{2} + 3 (- x) = - x^{3} - 2 x^{2} - 3 x

- f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} - 3 x

f (- x) \neq - f (x)

Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, aber zum Punkt

(2 | \frac{2}{3})

6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen

(i n

welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f' (x) = x^{2} - 4 x + 3

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f' (x) = 0

\Rightarrow x^{2}

–

4 x + 3 = 0

Lösen mit der Mitternachtsformel:

\Rightarrow x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

\Rightarrow x_{1} = 1

\Rightarrow x_{2} = 3

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Die quadratische Funktion

f' (x)

hat außerhalb ihrer Schnittpunkte positive Funktionsterme und innerhalb ihrer Schnittpunkte negative Funktionswerte.

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild3monotonie

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild3monotonie

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

f' (x) > 0

für

x \in] - \infty; 1 [\cup] 3, \infty [

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

für

x \in] 1; 3 [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild3monotonie2.ggb

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f' (x) = 0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen

x_{1} = 1

und

x_{2} = 3

An der Stelle

x_{1} = 1

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von

+

nach

- \Rightarrow

Maximum

An der Stelle

x_{2} = 3

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach

+ \Rightarrow

Minimum

f (1) = \frac{1}{3}

–

2 + 3 = \frac{4}{3}

\Rightarrow P (1 | \frac{4}{3})

Maximum

f (3) = \frac{1}{3} \cdot 27

–

2 \cdot 9 + 3 \cdot 3 = 0

\Rightarrow Q (3 | 0)

Minimum

Da die Nullstelle gleich dem Minimum ist, berührt der Graph der Funktion die x-Achse in diesem Punkt.

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild3

8) Wendepunkte bestimmen:

f'' (x) = 0

\Rightarrow 2 x - 4 = 0

2 x = 4

\Rightarrow x_{0} = 2

f''' (x) = 2

\Rightarrow f''' (x_{0}) = f''' (2) = 2 \neq 0

Bei

x = 2

hat die Funktion ein Wendepunkt.

f''' (x_{0}) = f''' (2) = 2 > 0

Bei

x = 2

wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

f (x_{0}) = f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8

–

2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = \frac{2}{3}

\Rightarrow W (2 | \frac{2}{3})

Wendepunkt

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild4

9) Zeichnung:

Kurvendis.ganzrat.Fkt.3.Grades.I_bild5

595050

593054

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