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Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Mitternachtsformel
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Allgemeines Verfahren (klappt immer)

Beispiel: 2x2=12-2x

Erster Schritt: Alles auf eine Seite bringen

2x2+2x-12=0


Zweiter Schritt: Anwenden der Lösungsformel

Allgemein erhält man die Lösungen einer Gleichung Typs 0=ax2+bx+c mit:
x1,2=-b±b2-4ac2a

In diesem Beispiel also:
x1,2=-2±22-42(-12)22=-2±1004=-2±104

Somit ist x1=2 und x2=-3

L={-3;2} (Lösungsmenge)


Sonderfälle ( denen es noch einfacher klappt)

Lösen durch Faktorisieren
Ist die Gleichung unseres Beispiels faktorisiert gegeben, so kann man die Lösungen direkt ablesen:

2(x-2)(x+3)=0 (Wann ist der linke Teil der Gleichung - ein Produkt - gleich null?)

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

Betrachten wir die Faktoren:
2 wird nie null
(x-2) wird null, wenn x=2
(x+3) wird null, wenn x=-3

Somit erhalten wir auch L={-3;2}


In der Lösungformel sind b oder c null

Wenn b=0 ist, dann kann man die Gleichung direkt auflösen:
ax2+c=0
x2=-ca
x=±-ca (hier gibt es nur eine Lösung, wenn c und a unterschiedliches Vorzeichen haben oder c=0 ist)

Wenn c=0 ist, dann kann man die Gleichung direkt auflösen:
ax2+bx=0
x(ax+b)=0x1=0
ax+b=0
x2=-ba
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