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Nullstellen von Polynomfunktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Gemischte Aufgaben
Grenzwerte im Unendlichen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + . .$ . $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

wobei $x$ die Variable und die verschiedenen $a_{i}$ die Koeffizienten sind.

Beispiele:

$f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 1$

oder

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$

Der Grad einer Polynomfunktion ist die höchste Hochzahl des Polynoms.

Maximal kann eine Polynomfunktion so viele Nullstellen wie ihr Grad haben.

Grundsätzlich gibt es mehrere Verfahren zum Berechnen der Nullstellen.
Das wichtigste Verfahren ist das Faktorisieren des Funktionsterms.

Faktorisieren mit Hilfe der Polynomdivision

Dieses Verfahren bietet sich für Polynomfunktionen ab dem Grad 3 an.

1) Eine Nullstelle raten

Meist ist entweder bereits eine Nullstelle bekannt oder kann erraten werden.
Einfach verschiedene x-Werte in $f (x)$ einsetzen.
Meist fängt man mit folgenden x-Werten an: $1, - 1, 2, - 2,$ …

2) Polynomdivison

Ist eine Nullstelle $x_{0}$ gefunden, so kann der Funktionsterm durch den Term $x$ – $x_{0}$ dividiert werden.

Beispiel:

$f (x) = x^{3}$ – $x^{2} - 22 x + 40$

$f (2) = 0$

Polynomdivision: $x^{3}$ – $x^{2} - 22 x + 40 : (x - 2)$

Schritt 1

final_bild1

Schritt 2

Schritt 3

$\Rightarrow x^{3}$ – $x^{2} - 22 x + 40 = (x - 2) \cdot (x^{2} + x - 20)$

pq-Formel angewendet auf $x^{2} + x - 20$ ergibt:

$x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 20} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}} = - \frac{1}{2} \pm \frac{9}{2}$

$\Rightarrow x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = - 5$

und

$\Rightarrow x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 4$

Die Funktion kann somit in linearen Faktoren zerlegt werden:

$f (x) = x^{3}$ – $x^{2} - 22 x + 40 = (x - 2) \cdot (x + 5) \cdot (x - 4)$

Die Nullstellen können direkt abgelesen werden:

bild_5

Nullstellen finden mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel)

Anwendbar auf Polynomfunktionen 2. Grades.

Beispiel:

$f (x) = x^{2} + x - 2$

$x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$

$\Rightarrow$ Die Nullstellen sind:

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2$

und

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$

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