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Nullstellen von Polynomfunktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+... a2x2+a1x+a0

wobei x die Variable und die verschiedenen ai die Koeffizienten sind.

Beispiele:

f(x)=3x5+2x4-x3+3x2+5x+1

oder

f(x)=x3+3x2

Der Grad einer Polynomfunktion ist die höchste Hochzahl des Polynoms.

Maximal kann eine Polynomfunktion so viele Nullstellen wie ihr Grad haben.

Grundsätzlich gibt es mehrere Verfahren zum Berechnen der Nullstellen.
Das wichtigste Verfahren ist das Faktorisieren des Funktionsterms.

Faktorisieren mit Hilfe der Polynomdivision

Dieses Verfahren bietet sich für Polynomfunktionen ab dem Grad 3 an.


1) Eine Nullstelle raten

Meist ist entweder bereits eine Nullstelle bekannt oder kann erraten werden.
Einfach verschiedene x-Werte in f(x) einsetzen.
Meist fängt man mit folgenden x-Werten an: 1,-1,2,-2,


2) Polynomdivison

Ist eine Nullstelle x0 gefunden, so kann der Funktionsterm durch den Term   xx0   dividiert werden.

Beispiel:

f(x)=x3x2-22x+40

f(2)=0

Polynomdivision:   x3x2-22x+40:(x-2)

Schritt 1

final_bild1

Schritt 2

final_bild2

Schritt 3

final_bild3

x3x2-22x+40=(x-2)(x2+x-20)

pq-Formel angewendet auf   x2+x-20 ergibt:

x1,2=-12±(12)2+20=-12±814=-12±92

x1=-12-92=-5

und

x2=-12+92=4

Die Funktion kann somit in linearen Faktoren zerlegt werden:

f(x)=x3x2-22x+40=(x-2)(x+5)(x-4)

Die Nullstellen können direkt abgelesen werden:

bild_5
Nullstellen finden mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel)

Anwendbar auf Polynomfunktionen 2. Grades.

Beispiel:

f(x)=x2+x-2

x1,2=-1±12-41(-2)2=-1±32

Die Nullstellen sind:

x1=-1-32=-2

und

x2=-1+32=1