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Stammfunktion einer Polynomfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Potenzfunktionen - Definitionsbereich

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} +$ … $+ a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

wobei $x$ die Variable und die verschiedenen $a_{i}$ die Koeffizienten sind.

Beispiele:

$f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 1$

oder

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$

Jeder Summenterm besteht aus einer Potenz von $x$ mit einem Koeffizienten (ein Faktor).

Die Menge der Stammfunktionen einer Potenzfunktion lässt sich über folgende Formel bestimmen:

$f (x) = x^{n} \Rightarrow \int f (x) d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

mit $n \neq - 1$ und $C \in ℝ$

Beispiel:

$f (x) = x^{2} \Rightarrow \int x^{2} d x = \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + C = \frac{x^{3}}{3} + C$

Vorsicht:

Das unbestimmte Integral $\int f (x) d x$ gibt die Menge aller Stammfunktionen an.
Möchtest Du nur eine Stammfunktion bestimmen, so musst Du ein $C$ wählen.
Ist nur eine beliebige Stammfunktion gesucht, kann $C = 0$ gewählt werden.

Besteht ein Summenterm der Polynomfunktion aus einem Produkt mit einem Koeffizienten, so wird die Faktorregel angewandt.

$f (x) = a \cdot x^{n} \Rightarrow \int f (x) d x = a \cdot \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

Beispiel:

$f (x) = 5 x^{2} \Rightarrow \int 5 x^{2} d x = x^{2 + 1} \frac{5}{2 + 1} + C = \frac{5}{3} x^{3} + C$

So wird für jeden Summanden einer Polynomfunktion die Stammfunktion bestimmt.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} + x^{2} .$
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen von $f .$

$\int x^{3} + x^{2} d x$

$= \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

$= \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} .$
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen von $f .$

$\int 4 x^{3} + 3 x^{2} d x$

$= \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x$

$= x^{4} \frac{4}{4} + x^{3} \frac{3}{3} + C$

$= x^{4} + x^{3} + C$

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$
Bestimmte die Menge aller Stammfunktionen von $f$ .

Hier sollte man zunächst den Funktionsterm umformen:

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$

Nun kann man wieder die Formel anwenden.

$\int x^{- 2} d x$

$= \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} + C$

$= \frac{x^{- 1}}{- 1} + C$

$= - \frac{1}{x} + C$

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