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Stammfunktion einer Polynomfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2++a2x2+a1x+a0

wobei x die Variable und die verschiedenen ai die Koeffizienten sind.

Beispiele:

f(x)=3x5+2x4-x3+3x2+5x+1

oder

f(x)=x3+3x2


Jeder Summenterm besteht aus einer Potenz von x mit einem Koeffizienten (ein Faktor).

Die Menge der Stammfunktionen einer Potenzfunktion lässt sich über folgende Formel bestimmen:

f(x)=xn    f(x)dx=xn+1n+1+C

mit n-1 und C


Beispiel:

f(x)=x2    x2dx=x2+12+1+C=x33+C


Vorsicht:

Das unbestimmte Integral f(x)dx gibt die Menge aller Stammfunktionen an.
Möchtest Du nur eine Stammfunktion bestimmen, so musst Du ein C wählen.
Ist nur eine beliebige Stammfunktion gesucht, kann C=0 gewählt werden.


Besteht ein Summenterm der Polynomfunktion aus einem Produkt mit einem Koeffizienten, so wird die Faktorregel angewandt.

f(x)=axn    f(x)dx=axn+1n+1+C


Beispiel:

f(x)=5x2    5x2dx=x2+152+1+C=53x3+C


So wird für jeden Summanden einer Polynomfunktion die Stammfunktion bestimmt.
Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=x3+x2.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen von f.


x3+x2dx

    =x3dx+x2dx

    =x44+x33+C
Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=4x3+3x2.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen von f.


4x3+3x2dx

    =4x3dx+3x2dx

    =x444+x333+C

    =x4+x3+C
Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=1x2
Bestimmte die Menge aller Stammfunktionen von f.

Hier sollte man zunächst den Funktionsterm umformen:

f(x)=1x2=x-2

Nun kann man wieder die Formel anwenden.

x-2dx

    =x-2+1-2+1+C

    =x-1-1+C

    =-1x+C
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