Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral benutzt man, um Flächenstücke zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen (Siehe Flächenberechnung durch Integrieren [mehr dazu]).



Das Integral ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird auch bestimmtes Integral genannt.


Wie berechnet man das bestimmte Integral?

1) Bestimme eine Stammfunktion [mehr dazu] von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$.
2) In die Formel einsetzen und berechnen.

Vorsicht: Nicht immer stimmt das bestimmte Integral mit dem Inhalt eines Flächenstücks überein.

Mehr dazu findest unter Flächenberechung.


Beispiele

${\displaystyle {\int }_1^2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{3}\right]}_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}}$

${\displaystyle {\int }_1^2(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+1)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={[2\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}{4}+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}_1^2=2\frac{2^4}{4}+2-(2\frac{1^4}{4}+1)=8+2-\frac{1}{2}-1=\frac{17}{2}}$

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}cos\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[sin\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\right]}_{-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}=sin\left(\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\right)-sin(-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2})=1-(-1)=2}$