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Berechnung eines Flächenstücks

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Fläche mit dem Integral?

Wie bestimmt man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion, der x-Achse und zwei Grenzen a und b?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gegeben ist eine Funktion

f (x)

. Gesucht ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse und den beiden Grenzen a und

b

.

Beispiel:

f (x) = x^{3}

zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse und den beiden Grenzen

- 1

und 2.

1) Ansatz

A = | \int_{- 1}^{2} x^{3} d x |

2) Nullstellen der Funktion bestimmen

f (x) = 0

x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0

3) Integral an den Nullstellen aufteilen

A = | \int_{- 1}^{0} x^{3} d x | + | \int_{0}^{2} x^{3} d x |

4) Flächenteile berechnen

\int_{- 1}^{0} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{- 1}^{0} = - \frac{1}{4}

\int_{0}^{2} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{2} = 4

5) Zusammenrechnen

A = | - \frac{1}{4} | + | 4 | = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}

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