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Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eigentlich eine Funktion der Form

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

Es liegt also ein Bruch aus zwei Funktionen vor.
Leicht zur erkennen ist dieser Funktionstyp daran, dass ein

x

im Nenner des Funktionsterms steht.

Beispiele:

f (x) = \frac{2}{x}

oder

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}

Es gibt zwei Verfahren, Stammfunktionen zu gebrochen-rationalen Funktionen zu bestimmen.

1) Verfahren (nur für einfache gebrochen-rationale Funktionen)

Man kann die Regel für Funktionen der Form

f (x) = x^{n}

anwenden.

Die Menge der Stammfunktionen einer Potenzfunktion lässt sich über folgende Formel bestimmen:

f (x) = x^{n} \Rightarrow \int f (x) d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

mit

n \neq 1

und

C \in ℝ

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

Hier sollte man zunächst den Funktionsterm umformen:

f (x) = \frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

Nun kann man die Formel anwenden.

\int x^{- 2} d x

= \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} + C

= \frac{x^{- 1}}{- 1} + C

= - \frac{1}{x} + C

Mehrere Beispiele hierzu:
Stammfunktion einer Polynomfunktion

2) Verfahren (Grad des Nennerpolynom = Grad Zählerpolynom

+ 1)

Über folgende Integrationsregel kann zu einer Gruppe von gebrochen-rationalen Funktionen die Menge der Stammfunktionen ermittelt werden.

Integrationsregel:

f (x) = \frac{g' (x)}{g (x)} \Rightarrow \int f (x) d x = \int \frac{g' (x)}{g (x)} d x = ln | g (x) | + C

wobei

C \in ℝ

Beispiel:

Gegeben die die Funktion

f

mit

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

.

Da

2 x

die 1. Ableitung von

x^{2}

– 4 ist, kann dieser Funktionsterm wie folgt geschrieben werden.

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4} = \frac{g' (x)}{g (x)}

Man kann also die Integrationsregel anwenden:

\int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x = ln | x^{2} + 4 | + C

x^{2} + 4 > 0

für beliebige

x

ist, kann man in diesem Fall die Betragsstriche auch weglassen:

\int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x = ln (x^{2} + 4) + C

Häufig verwendete Variante (Faktor muss ergänzt werden):

Stimmt der Zähler bis auf einen Faktor mit der Ableitung des Nenners überein, so muss ein Faktor ergänzt werden, um die Integrationsregel

\int \frac{g' (x)}{g (x)} d x =

ln|(fx)|

+ C

anwenden zu können.

Beispiel:

Gegeben die die Funktion mit

g (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}

.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion

f

2 x

wäre die 1. Ableitung von

x^{2} - 9

Allerdings steht nur

x

im Zähler.

Nun wendet man folgenden Trick an:

\int \frac{x}{x^{2} - 9} d x

Bruch mit 2 erweitern:

= \int \frac{2 \cdot x}{2 \cdot (x^{2} - 9)} d x

Mit der Faktorregel für Integrale, darf man nun

\frac{1}{2}

vor das Integral ziehen:

= \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x

Nun steht die Ableitung des Nenners im Zähler und es kann die Regel angewandt werden:

= \frac{1}{2} ln | x^{2} - 9 | + C

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