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Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eigentlich eine Funktion der Form

f(x)=p(x)q(x)

Es liegt also ein Bruch aus zwei Funktionen vor.
Leicht zur erkennen ist dieser Funktionstyp daran, dass ein x im Nenner des Funktionsterms steht.

Beispiele:

f(x)=2x

oder

f(x)=x+1x2-4


Es gibt zwei Verfahren, Stammfunktionen zu gebrochen-rationalen Funktionen zu bestimmen.

1) Verfahren (nur für einfache gebrochen-rationale Funktionen)

Man kann die Regel für Funktionen der Form f(x)=xn anwenden.

Die Menge der Stammfunktionen einer Potenzfunktion lässt sich über folgende Formel bestimmen:

f(x)=xn    f(x)dx=xn+1n+1+C

mit n1 und C


Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit   f(x)=1x2.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f

Hier sollte man zunächst den Funktionsterm umformen:

f(x)=1x2=x-2

Nun kann man die Formel anwenden.

x-2dx

    =x-2+1-2+1+C

    =x-1-1+C

    =-1x+C


Mehrere Beispiele hierzu:
Stammfunktion einer Polynomfunktion

2) Verfahren (Grad des Nennerpolynom = Grad Zählerpolynom +1)


Über folgende Integrationsregel kann zu einer Gruppe von gebrochen-rationalen Funktionen die Menge der Stammfunktionen ermittelt werden.

Integrationsregel:

f(x)=g'(x)g(x)    f(x)dx=g'(x)g(x)dx=ln|g(x)|+C

wobei C


Beispiel:

Gegeben die die Funktion f mit   f(x)=2xx2+4.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f.


Da 2x die 1. Ableitung von x2 – 4 ist, kann dieser Funktionsterm wie folgt geschrieben werden.

f(x)=2xx2+4=g'(x)g(x)

Man kann also die Integrationsregel anwenden:

2xx2+4dx=ln|x2+4|+C

Da x2+4>0 für beliebige x ist, kann man in diesem Fall die Betragsstriche auch weglassen:

2xx2+4dx=ln(x2+4)+C




Häufig verwendete Variante (Faktor muss ergänzt werden):

Stimmt der Zähler bis auf einen Faktor mit der Ableitung des Nenners überein, so muss ein Faktor ergänzt werden, um die Integrationsregel g'(x)g(x)dx= ln|(fx)| +C anwenden zu können.


Beispiel:

Gegeben die die Funktion mit   g(x)=xx2-9.
Bestimme die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f.

2x wäre die 1. Ableitung von x2-9

Allerdings steht nur x im Zähler.

Nun wendet man folgenden Trick an:

xx2-9dx

Bruch mit 2 erweitern:
=2x2(x2-9)dx

Mit der Faktorregel für Integrale, darf man nun 12 vor das Integral ziehen:
=122xx2-9dx

Nun steht die Ableitung des Nenners im Zähler und es kann die Regel angewandt werden:

=12ln|x2-9|+C

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