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Ableitung einer Polynomfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form

f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2 +…+ a2x22+a1x+a0

wobei x die Variable und die verschiedenen ai die Koeffizienten sind.

Beispiele:

f(x)=3x5+2x4-x3+3x2+5x+1

oder

f(x)=x3+3x2


Bei der Ableitung einer Polyomfunktion wird jeder einzelne Summenterm abgeleitet. Die Summe der einzelnen Ableitungen ist dann die ganze Ableitung.

Jeder Summenterm besteht aus einer Potenz von x und wird nach der Regel für Potenzen abgeleitet:

f(x)=xn

  f'(x)=nxn-1

Besteht ein Summenterm aus einem Produkt mit einem Koeffizienten, so wird die Regel für die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion angewendet.
Ableitung eines Vielfachen einer Funktion



Beispiel:

f(x)=x2+2x+1

Ableitung der einzelnen Termen:

(x2)'=2x

(2x)'=2

(1)'=0

Summe der Ableitungen:

  f'(x)=2x+2+0=2x+2



Beispiel:

f(x)=2x4-x3+12x2-10

Ableitung der einzelnen Termen:

(2x4)'=24x3=8x3

(-x3)'=-13x2=-3x2

(12x2)'=122x=x

(-10)'=0

Summe der Ableitungen:

  f'(x)=8x3-3x2+x+0=8x3-3x2+x

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