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Ableiten von Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Die Exponentialfunktion ex

Die Ableitung der Exponentialfunktion ex ist gleich die Funktion selbst.

f(x)=ex    f'(x)=ex


Es ist die einzige Funktion die diese Eigenschaft besitzt.

Die Exponentialfunktion beax

Man leitet allgemein nach der Regel für die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion und der Kettenregel ab.

f(x)=beax

f'(x)=beaxa=abeax


Beispiel

f(x)=2e12x

f'(x)=2e12x12=e12x

Verkettung einer Funktion mit der Exponentialfunktion

f(x)=ef(x)

Nach der Kettenregel ist die Ableitung gleich:

f'(x)=ef(x)f'(x)


Beispiel:

f(x)=esinx=esinxcosx

Exponentialfunktion mit beliebiger Basis a

f(x)=abx

f'(x)=blnaabx

Begründung:

f(x)=abx=ebxlna

Nach der Kettenregel gilt dann:

f'(x)=ebxlnablna


Beispiel

f(x)=2x        f'(x)=ln22x

g(x)=(12)2x        g'(x)=(12)2x2ln(12)

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