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Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?
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Die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen lauten:

Ableitung der Sinusfunktion:

f(x)=sinx

f'(x)=cos


Ableitung der Kosinusfunktion:

f(x)=cosx

f'(x)=-sinx


Ableitung der Tangensfunktion:

f(x)=tanx

f'(x)=1(cosx)2=1+(tanx)2

Beweis hierfür:

tanx=sinxcosx

Nach der Quotientenregel gilt dann:

(tanx)'=(sinxcosx)'

        =cosxcosx-sinx(-sinx)(cosx)2

        =(cosx)2+(sinx)2(cosx)2

Durch das Aufteilen des Bruches:

(tanx)'=(cosx)2+(sinx)2(cosx)2=(cosx)2(cosx)2+(sinx)2(cosx)2=1+(tanx)2

Durch Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: (sinx)2+(cosx)2=1

(tanx)'=(cosx)2+(sinx)2(cosx)2=1(cosx)2

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