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Hoch- bzw. Tiefpunkte einer allg. Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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Was man über Hoch- bzw. Tiefpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion wissen sollte

Die Funktionsgleichung einer allgemeinen Sinusfunktion lautet:   f(x)=asin(bx+x)

  • Ein Hochpunkt ist der Punkt in der die Sinusfunktion ihren größten Funktionswert annimmt.

  • Ein Tiefpunkt ist der Punkt in der die Sinusfunktion ihren kleinsten Funktionswert annimmt.


  • Da die Sinusfunktion eine periodische Funktion ist, wiederholen sich die Hochpunkte bzw. die Tiefpunkte in jeder Periode ein mal, d.h. der Abstand zwischen zwei Hochpunkte bzw. Tiefpunkte ist gleich einer Periodenlänge.


  • Zwischen zwei hintereinander folgende Nullstellen liegt in der Mitte (also auf halben Weg) entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt.


HochTiefNull
Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmen ohne Kenntnisse über die Nullstellen


Beispiel:

Gegeben ist folgende Sinusfunktion:   f(x)=1,5sin(2x-2π3)

Man ließt direkt von der Funktionsgleichung ab:

a=1,5  ,  b=2  ,  c=2π3

Die Periode dieser Sinusfunktion ist gleich:   T=2πb=2π2=π

In einem Hochpunkt xH nimmt die Sinusfunktion den Wert a=1,5 an, also muss folgende Gleichung gelöst werden:

f(x)=1,5

1,5sin(2x-2π3)=1,5    |  :1,5

sin(2x-2π3)=1    |  sin-1 anwenden

2x-2π3=sin-1(1)

2x-2π3=π2    |  +2π3

2x=7π6    |  :2

xH=7π12


Der erste Hochpunkt   xh=7π12   ist damit bestimmt worden.

Da der Abstand zwischen zwei Hochpunkte gleich der Preiodenlänge T ist, findet man einen zweiten Hochpunkt indem man die Periodenlänge T zum gefundenen Hochpunkt dazu addiert:

x2=xH+T=7π12+π=19π12

Einen dritten Hochpunkt wäre:

x3=x2+T=19π12+π=31π12

Die Gesamtheit aller Hochpunkte kann man auch zusammenfassend schreiben:

xH=7π12+kπ   mit k



Die Tiefpunkte werden genau so bestimmt:

In einem Tiefpunkt xT nimmt die Sinusfunktion den Wert -a=-1,5 an, also muss folgende Gleichung gelöst werden:

f(x)=-1,5

1,5sin(2x-2π3)=-1,5    |  :1,5

sin(2x-2π3)=-1    |  sin-1 anwenden

2x-2π3=sin-1(-1)

2x-2π3=3π2    |  +2π3

2x=13π6    |  :2

xT=13π12


Der erste Tiefpunkt   xh=13π12   ist damit bestimmt worden.

Da der Abstand zwischen zwei Tiefpunkte auch gleich der Preiodenlänge T ist, folgt:

xT=13π12+kπ   mit k
Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmen mit Kenntnisse über die Nullstellen

Kennt man die Lage der Nullstellen einer Sinusfunktion, dann lassen sich die Hoch- bzw. Tiefpunkte sehr leicht ausrechenen.

Als Beispiel die Sinusfunktion vom letzten Beitrag:   f(x)=1,5sin(2x-2π3)

Diese Funktion hat folgende Nullstellen:   xN=π3+kπ2   mit k

Nehmen wir 2 hintereinander folgende Nullstellen (z.B. setzen wir k=0 und k=1 ein):

x0=π3   und   x1=5π6

Zwischen diesen zwei Nullstellen liegt entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt.

Mittelpunkt ausrechenen:   x=x0+x12=π3+5π62=7π12

Einsetzten von x=7π12 in die Funktionsgleichung:

f(7π12)=1,5sin(27π12-2π3)=1,5sin(π2)=1,5

xH=7π12   ist ein Hochpunkt.


Der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ist gleich die Hälfte der Periodenlänge T

T=π

T2=π2

xT=xH+π2=7π12+π2=13π12

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