Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Lage des Extrempunkts ermitteln

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :

     Ansatz:

     Erste Ableitung Null setzen:   f'(x)=0

     Nun die Gleichung f'(x)=0 nach x auflösen

     Die Lösungen der Gleichung f'(x)=0 sind die x0 -Werte möglicher Extrempunkte.
     Man sagt, sie erfüllen die notwendige Bedingung für ein Extremum:
f'(x0)=0


(x0 soll eine Lösung der Gleichung f'(x)=0 sein.)





Art des Extrempunkts ermitteln

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

     Hierfür gibt es 2 Methoden:

     Methode der zweiten Ableitung:

         Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden

         Die x0 -Werte aus 2) in die zweite Ableitung einsetzen:   f''(x0)

         Prüfen ob gilt:   f''(x0)0

Für ein Extrempunkt gilt stets:   f''(x0)0

Man sagt x0 erfüllt die hinreichende Bedingung für ein Extremum:
f''(x0)0


Um welches Extremum es sich dabei handelt wird am Vorzeichen der zweiten Ableitung abgelesen:

f'(x0)=0   UND   f''(x0)<0  , so hat die Funktion bei x0 ein (lokales) Maximum.



f'(x0)=0   UND   f''(x0)>0  , so hat die Funktion bei x ein (lokales) Minimum.






     Methode des Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung:

         Man prüft ob die erste Ableitung ihr Vorzeichen im Punkt x0 wechselt, indem man untersucht wo die
         erste Ableitung kleiner Null und größer Null ist:

        f'(x)<0

        f'(x)>0

Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x0 ihr Vorzeichen von "+" (Plus) auf "-" (Minus), dann hat die Funktion in x0 ein (lokales)Maximum.



Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x0 ihr Vorzeichen von "-" (Minus) auf "+" (Plus), dann hat die Funktion in x ein (lokales)Minimum.



Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen!

Beispiel:

f(x)=x2+4x

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden :

    f'(x)=2x+4

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :

    f'(x)=0

      2x+4=0

    2x=-4

      x0=-2

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

     Bestimmt mit der zweiten Ableitung.

    f''(x)=(2x+4)'=2

    f''(x0)=f''(-2)=2

      f''(x0)0

    f''(-2)=2>0

   An der Stelle x0=-2 hat die Funktion ein Minimum.


     Alternative: Bestimmt mit dem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

    f'(x)=2x+4

     Für welche x gilt f'(x)>0?

    2x+4>0

      x>-2

     Für welche x gilt f'(x)<0?

    2x+4<0

      x<-2

Die erste Ableitung ist negativ für alle x die kleiner sind als -2 und positiv für alle x die größer sind als -2. Die erste Ableitung wechsel also bei x=-2 ihr Vorzeichen von "-" nach "+".

   An der Stelle x0=-2 hat die Funktion ein Minimum.

Wie hilft Dir dieser Artikel?
 
Diese Erklärung hat mir geholfen
 
Diese Erklärung hat mir teilweise geholfen
 
Diese Erklärung hat mir nicht geholfen
 
Ich habe eine Frage zu diesem Thema